Exercicis de Intersecció d'una circumferència i una recta

Calcula la posició relativa de la circumferència $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 20 = 0$ i la recta $3 x + 4 y - 27 = 0$ .

Desenvolupament:

Plantegem el sistema format per ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 20 = 0 \\ 3 x + 4 y - 27 = 0 \end{matrix}$

Aïllem ara la $x$ de l'equació de la recta $x = \frac{27 - 4 y}{3}$ i la substituïm en l'equació general de la circumferència que ens dóna l'enunciat. $(\frac{27 - 4 y}{3})^{2} + y^{2} - 4 (\frac{27 - 4 y}{3}) + 2 y - 20 = 0$ Aquesta és l'equació de la que hem de mirar el discriminant. Desenvolupant els quadrats tenim: $\frac{27^{2}}{9} - 2 \cdot \frac{27}{3} \cdot \frac{4 y}{3} + \frac{16 y^{2}}{9} + y^{2} - \frac{4 \cdot 27}{3} + \frac{16 y}{3} + 2 y - 20 = 0$ $(\frac{16}{9} + 1) y^{2} + (\frac{16}{3} + \frac{6}{3} - \frac{72}{3}) y - 20 + \frac{27^{2}}{9} - \frac{4 \cdot 27}{3} = 0$ $(\frac{25}{9}) y^{2} + (- \frac{50}{3}) y - 20 + 27 \cdot 3 - \frac{108}{3} = 0$ $(\frac{25}{9}) y^{2} + (- \frac{50}{3}) y + \frac{75}{3} = 0$ $25 y^{2} - 150 y + 225 = 0$

Resolent aquesta equació de segon grau tenim: $y = \frac{150 \pm \sqrt{150^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 225}}{2 \cdot 25} = \frac{150 \pm \sqrt{0}}{50} = 3$ Per tant el discriminant és $Δ = \sqrt{22.500 - 22.500} = 0$ i resulta ser que la circumferència i aquesta recta són tangents en un punt. Substituint la $y$ trobada a l'equació de la recta obtenim: $x = \frac{27 - 4 \cdot 3}{3} = \frac{27 - 12}{3} = \frac{15}{3} = 5$ de manera que el punt d'intersecció serà el $(5, 3)$ .

Solució:

Són tangents al punt $(5, 3)$ .

Amagar desenvolupament i solució

Calcula la posició relativa de la circumferència $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ i la recta $3 x + y - 5 = 0$ .

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Es planteja el sistema format per les dues equacions: ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0 \\ 3 x + y - 5 = 0 \end{matrix}} \Rightarrow x^{2} + (5 - 3 x)^{2} - 2 x - 3 = 0 \Rightarrow 5 x^{2} - 16 x + 11 = 0$

Calculem el discriminant de l'equació de segon grau: $x = \frac{16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 11}}{2 \cdot 5} = \frac{16 \pm \sqrt{36}}{10} \Rightarrow Δ = 36 > 0$ La recta i la circumferència són secants, donat que el discriminant és major que zero.

Calculem els punts d'intersecció: $x = \frac{16 \pm \sqrt{36}}{10} \Rightarrow x = {\begin{matrix} \frac{11}{5} \\ 1 \end{matrix} \Rightarrow y = {\begin{matrix} \frac{- 8}{5} \\ 2 \end{matrix}$

Solució:

Són secants en els punts de la circumferència $(\frac{11}{5}, - \frac{8}{5})$ i $(1, 2)$ .

Amagar desenvolupament i solució