Intersecció d'una circumferència i una recta

Anem a estudiar les posicions relatives en què poden trobar-se en un mateix pla una recta i una circumferència.

Per això donarem nom a diversos punts, rectes i segments que són singulars en la circumferència:

Centre, és un punt interior equidistant de tots els punts de la circumferència.
Radi, és la distància des del centre a un punt de la circumferència.
Corda, és el segment que uneix dos punts de la circumferència; les cordes de longitud màxima són els diàmetres.
Recta secant és la que talla la circumferència en dos punts.
Recta tangent és la que toca a la circumferència en un sol punt.
Punt de tangència, és el punt de contacte de la tangent amb la circumferència.

imagen

Per trobar els punts comuns a una circumferència i una recta resoldrem el sistema format per les equacions de les dues. És a dir, si tenim:

la circumferència donada per l'equació $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ o bé per l'equació $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$
la recta donada per l'equació general d'una recta: $y - y_{0} = m \cdot (x - x_{0})$

El que hem de resoldre és un dels dos sistemes següents (depenent de com ens vingui donada la circumferència): ${\begin{array}{l} (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} \\ y - y_{0} = m \cdot (x - x_{0}) \end{array} or {\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0 \\ y - y_{0} = m \cdot (x - x_{0}) \end{array}$

Atès que si es té l'equació reduïda de la circumferència desenvolupant els quadrats s'aconsegueix l'equació general, sempre sabrem plantejar el problema de manera que el sistema a resoldre sigui: ${\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0 \\ y - y_{0} = m \cdot (x - x_{0}) \end{array}$ Aïllant per exemple la $y$ en l'equació de la recta obtenim: $y = y_{0} + m \cdot (x - x_{0})$ i substituint aquesta expressió en l'equació general de la circumferència obtenim: $x^{2} + (y_{0} + m \cdot (x - x_{0}))^{2} + A x + B (y_{0} + m \cdot (x - x_{0})) + C = 0$ que si ajuntem oportunament ens dóna: $\begin{array}{l} x^{2} + (y_{0} + m \cdot (x - x_{0}))^{2} + A x + B (y_{0} + m \cdot (x - x_{0})) + C = 0 \\ x^{2} + y_{0}^{2} + 2 \cdot y_{0} \cdot m \cdot x - 2 \cdot y_{0} \cdot m \cdot x_{0} + m^{2} \cdot (x - x_{0})^{2} + \\ + A x + B y_{0} + B \cdot m \cdot x - B \cdot m \cdot x_{0} + C = 0 \\ x^{2} + m^{2} \cdot x^{2} + 2 \cdot y_{0} \cdot m \cdot x - 2 \cdot m^{2} \cdot x \cdot x_{0} + A x + B \cdot m \cdot x + \\ + y_{0}^{2} - 2 \cdot y_{0} \cdot m \cdot x_{0} + B \cdot y_{0} - B \cdot m \cdot x_{0} + m^{2} \cdot x_{0}^{2} + C = 0 \\ x^{2} (1 + m^{2}) + x (2 \cdot y_{0} \cdot m - 2 \cdot m^{2} \cdot x_{0} + A + B \cdot m) + \\ + y_{0}^{2} - 2 \cdot y_{0} \cdot m \cdot x_{0} + B \cdot m \cdot x_{0} + m^{2} \cdot x_{0}^{2} + C = 0 \end{array}$

que és una equació de segon grau en la variable $x$ .

Atès que en general s'obté un equació de segon grau, aquesta tindrà, depenent del signe del discriminant ( $Δ = b^{2} - 4 a c$ ), les següents solucions:

Si $Δ > 0$ Dues solucions: llavors la recta i la circumferència són secants.
Si $Δ = 0$ Una solució: llavors la recta i la circumferència són tangents.
Si $Δ < 0$ Cap solució: llavors la recta i la circumferència són exteriors. Per tant no es toquen en cap punt.

Vegeu en el següent dibuix algunes de les possibilitats:

imagen imagen imagen