Equació de la circumferència II: equació general

Una circumferència amb centre $$C = (a, b)$$ i radi $$r$$ es pot escriure mitjançant l'equació reduïda:

$$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$$

Desenvolupant els quadrats d'aquesta equació obtenim:

$$$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$$$

i fent el canvi $$A= -2a, \ \ B=-2b, \ \ C=a^2+b^2-r^2$$ en:

$$$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$$$

s'obté la nova equació:

$$$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$$

Així hem trobat una altra expressió analítica que ens defineix els punts d'una circumferència. A aquesta equació s'anomena equació general de la circumferència.

Vegem com determinar el centre i el radi d'una circumferència a partir de la seva equació general.

Atès que hem fet el canvi:

$$$A=-2a, \ \ B=-2b, \ \ C=a^2+b^2-r^2$$$

aïllem d'aquestes expressions els termes $$a$$, $$b$$ i $$r$$. Tenim:

$$$\displaystyle a=-\frac{A}{2}$$$ $$$b=-\frac{B}{2}$$$ $$$r^2=a^2+b^2-C=\Big(-\frac{A}{2}\Big)^2+\Big(-\frac{B}{2}\Big)^2-C=\frac{A^2+B^2-4C}{4}$$$

I com sabem que en l'expressió reduïda $$(a, b)$$ és el centre i $$r$$ el radi, donada una equació general:

$$$x^2+y^2+Ax+Bx+C=0$$$

el centre de tal circumferència és el punt $$\displaystyle \Big(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2}\Big)$$ i el radi és $$\displaystyle r=\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}$$.

Suposem que ens donen la circumferència $$$x^2+y^2-2x+4y-4=0$$$ que està centrada en el punt:

$$$\displaystyle \Big(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2}\Big)=\Big(-\frac{-2}{2},-\frac{4}{2}\Big)=(1,-2)$$$

i té radi:

$$$ \displaystyle r=\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}=\sqrt{\frac{(-2)^2+4^2-4\cdot(- 4)}{4}}=$$$

$$$=\displaystyle\sqrt{\frac{4+16+16}{4}}=\sqrt{\frac{36}{4}}=\frac{6}{2}=3$$$

Vegem ara el procés invers,

Donar l'equació general de la circumferència que té per exemple radi $$4$$ i centre $$(-5, 6)$$.

Escrivim l'equació reduïda:

$$$ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \Rightarrow (x+5)^2+(y-6)^2=4^2 $$$

desenvolupant els quadrats ens queda:

$$$ (x+5)^2+(y-6)^2=4^2 \Rightarrow x^2+10x+25+y^2-12y+36=16$$$

Si ho ordenem oportunament i sumem tots els termes independents obtenim l'equació general d'aquesta circumferència, és a dir:

$$$ x^2+10x+25+y^2-12y+36=16$$$

$$$x^2+y^2+10x-12y+25+36=16$$$

$$$x^2+y^2+10x-12y+45=0$$$

Vegem que passa quan la circumferència està centrada en l'origen i volem escriure la seva equació general:

Atès que el $$(0, 0)$$ és el centre tenim: $$a=0$$ i $$b=0$$ pel que,

$$$\left.{\begin{matrix} {0=a=-\frac{A}{2}} \\ {0=b=-\frac{B}{2}} \end{matrix}}\right \}\Longrightarrow{\left \{ {\begin{matrix} {A=0}\\{B=0}\end{matrix}}\right . }$$$

de manera que en l'equació general només hi haurà termes quadràtics i termes independents, és a dir:

$$$x^2+y^2+C=0$$$

que passant el terme independent a l'altra banda es converteix en l'equació reduïda de la circumferència:

$$$x^2+y^2=-C$$$

on sabem que:

$$$C=a^2+b^2-r^2=-r^2$$$

ja que suposàvem centre $$(0, 0)$$.

En definitiva: Per a una circumferència centrada en el zero les dues equacions són pràcticament la mateixa.

Vegem un exemple:

Circumferència centrada en l'origen i radi $$7$$.

Equació reduïda: $$x^2+y^2=7^2$$

Equació general: $$x^2+y^2+C=0$$ on $$C=-7^2 \Longrightarrow x^2+y^2-7^2=0$$

Resumint, tenim:

Donada la circumferència com: $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Llavors el centre és el punt del pla $$(a,b)$$ i el radi és $$r$$.

$$(x-8)^2+(y+3)^2=1$$ té centre $$(8,-3)$$ i radi $$1$$.

Donada la circumferència com: $$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$

Llavors el centre és el punt del pla $$\displaystyle \Big(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2}\Big)$$ i el radi és $$\displaystyle r=\sqrt{\Big(\frac{A}{2}\Big)^2+\Big(\frac{B}{2}\Big)^2-C}$$

$$x^2+y^2+x-5y-2=0$$ té centre $$\displaystyle \Big(\frac{-1}{2},\frac{5}{2}\Big)$$ i radi:

$$$\displaystyle r=\sqrt{\Big(\frac{1}{2}\Big)^2+\Big(\frac{-5}{2}\Big)^2-(-2)}=\sqrt{\frac{1+25+8}{4}}=\sqrt{\frac{34}{4}}=\sqrt{\frac{17}{2}}$$$