Equació de la circumferència II: equació general

Una circumferència amb centre $C = (a, b)$ i radi $r$ es pot escriure mitjançant l'equació reduïda:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Desenvolupant els quadrats d'aquesta equació obtenim:

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + a^{2} + b^{2} - r^{2} = 0$

i fent el canvi $A = - 2 a, B = - 2 b, C = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ en:

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + a^{2} + b^{2} - r^{2} = 0$

s'obté la nova equació:

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$

Així hem trobat una altra expressió analítica que ens defineix els punts d'una circumferència. A aquesta equació s'anomena equació general de la circumferència.

Vegem com determinar el centre i el radi d'una circumferència a partir de la seva equació general.

Atès que hem fet el canvi:

$A = - 2 a, B = - 2 b, C = a^{2} + b^{2} - r^{2}$

aïllem d'aquestes expressions els termes $a$ , $b$ i $r$ . Tenim:

$a = - \frac{A}{2}$ $b = - \frac{B}{2}$ $r^{2} = a^{2} + b^{2} - C = (- \frac{A}{2})^{2} + (- \frac{B}{2})^{2} - C = \frac{A^{2} + B^{2} - 4 C}{4}$

I com sabem que en l'expressió reduïda $(a, b)$ és el centre i $r$ el radi, donada una equació general:

$x^{2} + y^{2} + A x + B x + C = 0$

el centre de tal circumferència és el punt $(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$ i el radi és $r = \sqrt{\frac{A^{2} + B^{2} - 4 C}{4}}$ .

Exemple

Suposem que ens donen la circumferència $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ que està centrada en el punt:

$(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) = (- \frac{- 2}{2}, - \frac{4}{2}) = (1, - 2)$

i té radi:

$r = \sqrt{\frac{A^{2} + B^{2} - 4 C}{4}} = \sqrt{\frac{(- 2)^{2} + 4^{2} - 4 \cdot (- 4)}{4}} =$

$= \sqrt{\frac{4 + 16 + 16}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4}} = \frac{6}{2} = 3$

Vegem ara el procés invers,

Exemple

Donar l'equació general de la circumferència que té per exemple radi $4$ i centre $(- 5, 6)$ .

Escrivim l'equació reduïda:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} \Rightarrow (x + 5)^{2} + (y - 6)^{2} = 4^{2}$

desenvolupant els quadrats ens queda:

$(x + 5)^{2} + (y - 6)^{2} = 4^{2} \Rightarrow x^{2} + 10 x + 25 + y^{2} - 12 y + 36 = 16$

Si ho ordenem oportunament i sumem tots els termes independents obtenim l'equació general d'aquesta circumferència, és a dir:

$x^{2} + 10 x + 25 + y^{2} - 12 y + 36 = 16$

$x^{2} + y^{2} + 10 x - 12 y + 25 + 36 = 16$

$x^{2} + y^{2} + 10 x - 12 y + 45 = 0$

Vegem que passa quan la circumferència està centrada en l'origen i volem escriure la seva equació general:

Atès que el $(0, 0)$ és el centre tenim: $a = 0$ i $b = 0$ pel que,

$\begin{matrix} 0 = a = - \frac{A}{2} \\ 0 = b = - \frac{B}{2} \end{matrix}} ⟹ {\begin{matrix} A = 0 \\ B = 0 \end{matrix}$

de manera que en l'equació general només hi haurà termes quadràtics i termes independents, és a dir:

$x^{2} + y^{2} + C = 0$

que passant el terme independent a l'altra banda es converteix en l'equació reduïda de la circumferència:

$x^{2} + y^{2} = - C$

on sabem que:

$C = a^{2} + b^{2} - r^{2} = - r^{2}$

ja que suposàvem centre $(0, 0)$ .

En definitiva: Per a una circumferència centrada en el zero les dues equacions són pràcticament la mateixa.

Vegem un exemple:

Exemple

Circumferència centrada en l'origen i radi $7$ .

Equació reduïda: $x^{2} + y^{2} = 7^{2}$

Equació general: $x^{2} + y^{2} + C = 0$ on $C = - 7^{2} ⟹ x^{2} + y^{2} - 7^{2} = 0$

Resumint, tenim:

Donada la circumferència com: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Llavors el centre és el punt del pla $(a, b)$ i el radi és $r$ .

Exemple

$(x - 8)^{2} + (y + 3)^{2} = 1$ té centre $(8, - 3)$ i radi $1$ .

Donada la circumferència com: $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$

Llavors el centre és el punt del pla $(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$ i el radi és $r = \sqrt{(\frac{A}{2})^{2} + (\frac{B}{2})^{2} - C}$

Exemple

$x^{2} + y^{2} + x - 5 y - 2 = 0$ té centre $(\frac{- 1}{2}, \frac{5}{2})$ i radi:

$r = \sqrt{(\frac{1}{2})^{2} + (\frac{- 5}{2})^{2} - (- 2)} = \sqrt{\frac{1 + 25 + 8}{4}} = \sqrt{\frac{34}{4}} = \sqrt{\frac{17}{2}}$