Ecuación de la circunferencia II: ecuación general

Una circunferencia con centro $C = (a, b)$ y radio $r$ se puede escribir mediante la ecuación reducida como:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Desarrollando los cuadrados de dicha ecuación obtenemos:

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + a^{2} + b^{2} - r^{2} = 0$

y haciendo el cambio $A = - 2 a, B = - 2 b, C = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ en:

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + a^{2} + b^{2} - r^{2} = 0$

se obtiene la nueva ecuación:

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$

Así hemos encontrado otra expresión analítica que nos define los puntos de una circunferencia. A esta ecuación se le llama ecuación general de la circunferencia.

Veamos como determinar el centro y el radio de una circunferencia a partir de su ecuación general.

Dado que hemos hecho el cambio:

$A = - 2 a, B = - 2 b, C = a^{2} + b^{2} - r^{2}$

aislamos de estas expresiones los términos $a$ , $b$ y $r$ . Tenemos:

$a = - \frac{A}{2}$ $b = - \frac{B}{2}$ $r^{2} = a^{2} + b^{2} - C = (- \frac{A}{2})^{2} + (- \frac{B}{2})^{2} - C = \frac{A^{2} + B^{2} - 4 C}{4}$

Y como sabemos que en la expresión reducida $(a, b)$ es el centro y $r$ el radio, dada una ecuación general:

$x^{2} + y^{2} + A x + B x + C = 0$

el centro de tal circunferencia es el punto $(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$ y el radio es $r = \sqrt{\frac{A^{2} + B^{2} - 4 C}{4}}$ .

Ejemplo

Supongamos que nos dan la circunferencia $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ entonces tenemos que está centrada en el punto:

$(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) = (- \frac{- 2}{2}, - \frac{4}{2}) = (1, - 2)$

y tiene radio:

$r = \sqrt{\frac{A^{2} + B^{2} - 4 C}{4}} = \sqrt{\frac{(- 2)^{2} + 4^{2} - 4 \cdot (- 4)}{4}} =$

$= \sqrt{\frac{4 + 16 + 16}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4}} = \frac{6}{2} = 3$

Veamos ahora el proceso inverso,

Ejemplo

Dar la ecuación general de la circunferencia que tiene por ejemplo radio $4$ y centro $(- 5, 6)$ .

Escribimos la ecuación reducida:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} \Rightarrow (x + 5)^{2} + (y - 6)^{2} = 4^{2}$

desarrollando los cuadrados nos queda:

$(x + 5)^{2} + (y - 6)^{2} = 4^{2} \Rightarrow x^{2} + 10 x + 25 + y^{2} - 12 y + 36 = 16$

Si lo ordenamos oportunamente y sumamos todos los términos independientes obtenemos la ecuación general de dicha circunferencia, esto es:

$x^{2} + 10 x + 25 + y^{2} - 12 y + 36 = 16$

$x^{2} + y^{2} + 10 x - 12 y + 25 + 36 = 16$

$x^{2} + y^{2} + 10 x - 12 y + 45 = 0$

Veamos que pasa cuando la circunferencia está centrada en el origen y queremos escribir su ecuación general:

Dado que el $(0, 0)$ es el centro tenemos: $a = 0$ y $b = 0$ por lo que,

$\begin{matrix} 0 = a = - \frac{A}{2} \\ 0 = b = - \frac{B}{2} \end{matrix}} ⟹ {\begin{matrix} A = 0 \\ B = 0 \end{matrix}$

de manera que en la ecuación general solo existirán términos cuadráticos y términos independientes, es decir:

$x^{2} + y^{2} + C = 0$

que pasando el término independiente al otro lado se convierte en la ecuación reducida de la circunferencia:

$x^{2} + y^{2} = - C$

donde sabemos que $C = a^{2} + b^{2} - r^{2} = - r^{2}$

puesto que suponíamos centro $(0, 0)$ .

En definitiva: Para una circunferencia centrada en el cero las dos ecuaciones son la misma prácticamente.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo

Circunferencia centrada en el origen y radio $7$ .

Ecuación reducida: $x^{2} + y^{2} = 7^{2}$

Ecuación general: $x^{2} + y^{2} + C = 0$ donde $C = - 7^{2} ⟹ x^{2} + y^{2} - 7^{2} = 0$

Resumiendo tenemos:

Dada la circunferencia como: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Entonces el centro es el punto del plano $(a, b)$ y el radio es $r$ .

Ejemplo

$(x - 8)^{2} + (y + 3)^{2} = 1$ tiene centro $(8, - 3)$ y radio $1$ .

Dada la circunferencia como: $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$

Entonces el centro es el punto del plano $(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$ y el radio es $r = \sqrt{(\frac{A}{2})^{2} + (\frac{B}{2})^{2} - C}$

Ejemplo

$x^{2} + y^{2} + x - 5 y - 2 = 0$ tiene centro $(\frac{- 1}{2}, \frac{5}{2})$ y radio

$r = \sqrt{(\frac{1}{2})^{2} + (\frac{- 5}{2})^{2} - (- 2)} = \sqrt{\frac{1 + 25 + 8}{4}} = \sqrt{\frac{34}{4}} = \sqrt{\frac{17}{2}}$