Circunferencia que pasa por 3 puntos dados

Vamos a desarrollar el mecanismo que se debe seguir para conseguir la ecuación de una circunferencia si se conocen tres puntos por donde pasa.

La ecuación general de una circunferencia $x^{2} + y^{2} + A x + B x + C = 0$ tiene 3 parámetros a determinar que son $A$ , $B$ y $C$ .

Por lo tanto, se sabe que si se tiene un sistema de 3 ecuaciones se podrán determinar los 3 parámetros.

Así pues, los 3 puntos dados que sabemos que son de la circunferencia los debemos sustituir en la ecuación general y de eso resultarán tres ecuaciones con incógnitas $A$ , $B$ y $C$ .

Ejemplo

Supongamos que la circunferencia a describir pasa por los puntos $(0, 0)$ , $(3, 1)$ y $(5, 7)$ .

Sustituimos para cada uno $x$ e $y$ en la ecuación general de la circunferencia: $(0, 0) \Rightarrow 0^{2} + 0^{2} + A \cdot 0 + B \cdot 0 + C = 0 (3, 1) \Rightarrow 3^{2} + 1^{2} + A \cdot 3 + B \cdot 1 + C = 0 (5, 7) \Rightarrow 5^{2} + 7^{2} + A \cdot 5 + B \cdot 7 + C = 0$ Debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones para incógnitas $A$ , $B$ y $C$ : ${\begin{array}{r} C = 0 \\ 9 + 1 + A \cdot 3 + B \cdot 1 + C = 0 \\ 25 + 49 + A \cdot 5 + B \cdot 7 + C = 0 \end{array}$

Primero sustituimos la $C$ en las demás ecuaciones puesto que ya es conocida, (es cero) y realizamos las operaciones entre los términos independientes. ${\begin{array}{r} 10 + 3 A + B = 0 \\ 74 + 5 A + 7 B = 0 \end{array}$

Aislamos por ejemplo $B$ de la primer ecuación: $B - 10 - 3 A$ y la ponemos en la segunda ecuación de donde podremos aislar y obtener $A$ : $\begin{array}{r} 74 + 5 A + 7 (- 10 - 3 A) = 0 \\ 74 + 5 A - 70 - 21 A = 0 \\ 16 A = 4 \\ A = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \end{array}$

Entonces sustituimos el valor de $A$ obtenido en la expresión $B = - 10 - 3 A$ y obtendremos que $B = - \frac{43}{4}$

Así pues ya conocemos cada uno de los parámetros que nos determinan la circunferencia, por lo tanto podemos escribir la ecuación: $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{4}{43} = 0$