Vamos a desarrollar el mecanismo que se debe seguir para conseguir la ecuación de una circunferencia si se conocen tres puntos por donde pasa.
La ecuación general de una circunferencia $$x^2+y^2+Ax+Bx+C=0$$ tiene 3 parámetros a determinar que son $$A$$, $$B$$ y $$C$$.
Por lo tanto, se sabe que si se tiene un sistema de 3 ecuaciones se podrán determinar los 3 parámetros.
Así pues, los 3 puntos dados que sabemos que son de la circunferencia los debemos sustituir en la ecuación general y de eso resultarán tres ecuaciones con incógnitas $$A$$, $$B$$ y $$C$$.
Supongamos que la circunferencia a describir pasa por los puntos $$(0,0)$$, $$(3,1)$$ y $$(5,7)$$.
Sustituimos para cada uno $$x$$ e $$y$$ en la ecuación general de la circunferencia: $$$(0,0) \Rightarrow 0^2+0^2+A \cdot 0 + B \cdot 0 + C = 0 \\ (3,1) \Rightarrow 3^2+1^2+A \cdot 3+B \cdot 1+C=0 \\ (5,7) \Rightarrow 5^2+7^2+A \cdot 5 + B \cdot 7 +C =0$$$ Debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones para incógnitas $$A$$, $$B$$ y $$C$$: $$$ \left \{{\begin{array}{r} C=0 \\ 9+1+A \cdot 3+B \cdot 1+C=0 \\ 25+49+A \cdot 5 + B \cdot 7 +C=0 \end{array}}\right.$$$
Primero sustituimos la $$C$$ en las demás ecuaciones puesto que ya es conocida, (es cero) y realizamos las operaciones entre los términos independientes. $$$ \left\{{\begin{array}{r}10+3A+B=0 \\ 74+5A+7B=0 \end{array} }\right.$$$
Aislamos por ejemplo $$B$$ de la primer ecuación: $$$B-10-3A$$$ y la ponemos en la segunda ecuación de donde podremos aislar y obtener $$A$$: $$$\displaystyle \begin{array}{r}74+5A+7(-10-3A)=0 \\ 74+5A-70-21A=0 \\ 16A=4 \\ A= \frac{4}{16}=\frac{1}{4}\end{array}$$$
Entonces sustituimos el valor de $$A$$ obtenido en la expresión $$$B=-10-3A$$$ y obtendremos que $$$\displaystyle B=-\frac{43}{4}$$$
Así pues ya conocemos cada uno de los parámetros que nos determinan la circunferencia, por lo tanto podemos escribir la ecuación: $$$\displaystyle x^2+y^2+\frac{1}{4}x-\frac{4}{43}=0$$$