Anem a desenvolupar el mecanisme que s'ha de seguir per obtenir l'equació d'una circumferència si es coneixen tres punts per on passa.
L'equació general d'una circumferència $$x^2+y^2+Ax+Bx+C=0$$ té 3 paràmetres a determinar que són $$A$$, $$B$$ i $$C$$.
Per tant, se sap que si es té un sistema de 3 equacions es podran determinar els 3 paràmetres.
Així doncs, els 3 punts donats que sabem que són de la circumferència els hem de substituir en l'equació general i d'això resultaran tres equacions amb incògnites $$A$$, $$B$$ i $$C$$.
Per exemple, suposem que la circumferència a descriure passa pels punts $$(0,0)$$, $$(3,1)$$ i $$(5,7)$$.
Substituïm per a cada $$x$$ i $$y$$ en l'equació general de la circumferència: $$$(0,0) \Rightarrow 0^2+0^2+A \cdot 0 + B \cdot 0 + C = 0 \\ (3,1) \Rightarrow 3^2+1^2+A \cdot 3+B \cdot 1+C=0 \\ (5,7) \Rightarrow 5^2+7^2+A \cdot 5 + B \cdot 7 +C =0$$$ Hem de resoldre el següent sistema d'equacions per trobar les incògnites $$A$$, $$B$$ i $$C$$: $$$ \left \{{\begin{array}{r} C=0 \\ 9+1+A \cdot 3+B \cdot 1+C=0 \\ 25+49+A \cdot 5 + B \cdot 7 +C=0 \end{array}}\right.$$$
Primer substituïm la $$C$$ en les altres equacions ja que ja és coneguda, (és zero) i realitzem les operacions entre els termes independents. $$$ \left\{{\begin{array}{r}10+3A+B=0 \\ 74+5A+7B=0 \end{array} }\right.$$$
Aïllem per exemple $$B$$ de la primera equació: $$$B-10-3A$$$ i la posem en la segona equació d'on podrem aïllar i obtenir $$A$$: $$$\displaystyle \begin{array}{r}74+5A+7(-10-3A)=0 \\ 74+5A-70-21A=0 \\ 16A=4 \\ A= \frac{4}{16}=\frac{1}{4}\end{array}$$$
Llavors substituïm el valor d'$$A$$ obtingut en l'expressió $$$B=-10-3A$$$ i obtindrem que $$$\displaystyle B=-\frac{43}{4}$$$
Així doncs ja coneixem cada un dels paràmetres que ens determinen la circumferència, per tant podem escriure l'equació: $$$\displaystyle x^2+y^2+\frac{1}{4}x-\frac{4}{43}=0$$$