Circumferència que passa per 3 punts donats

Anem a desenvolupar el mecanisme que s'ha de seguir per obtenir l'equació d'una circumferència si es coneixen tres punts per on passa.

L'equació general d'una circumferència $x^{2} + y^{2} + A x + B x + C = 0$ té 3 paràmetres a determinar que són $A$ , $B$ i $C$ .

Per tant, se sap que si es té un sistema de 3 equacions es podran determinar els 3 paràmetres.

Així doncs, els 3 punts donats que sabem que són de la circumferència els hem de substituir en l'equació general i d'això resultaran tres equacions amb incògnites $A$ , $B$ i $C$ .

Exemple

Per exemple, suposem que la circumferència a descriure passa pels punts $(0, 0)$ , $(3, 1)$ i $(5, 7)$ .

Substituïm per a cada $x$ i $y$ en l'equació general de la circumferència: $(0, 0) \Rightarrow 0^{2} + 0^{2} + A \cdot 0 + B \cdot 0 + C = 0 (3, 1) \Rightarrow 3^{2} + 1^{2} + A \cdot 3 + B \cdot 1 + C = 0 (5, 7) \Rightarrow 5^{2} + 7^{2} + A \cdot 5 + B \cdot 7 + C = 0$ Hem de resoldre el següent sistema d'equacions per trobar les incògnites $A$ , $B$ i $C$ : ${\begin{array}{r} C = 0 \\ 9 + 1 + A \cdot 3 + B \cdot 1 + C = 0 \\ 25 + 49 + A \cdot 5 + B \cdot 7 + C = 0 \end{array}$

Primer substituïm la $C$ en les altres equacions ja que ja és coneguda, (és zero) i realitzem les operacions entre els termes independents. ${\begin{array}{r} 10 + 3 A + B = 0 \\ 74 + 5 A + 7 B = 0 \end{array}$

Aïllem per exemple $B$ de la primera equació: $B - 10 - 3 A$ i la posem en la segona equació d'on podrem aïllar i obtenir $A$ : $\begin{array}{r} 74 + 5 A + 7 (- 10 - 3 A) = 0 \\ 74 + 5 A - 70 - 21 A = 0 \\ 16 A = 4 \\ A = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \end{array}$

Llavors substituïm el valor d' $A$ obtingut en l'expressió $B = - 10 - 3 A$ i obtindrem que $B = - \frac{43}{4}$

Així doncs ja coneixem cada un dels paràmetres que ens determinen la circumferència, per tant podem escriure l'equació: $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{4}{43} = 0$