Intersección de una circunferencia y una recta

Vamos a estudiar las posiciones relativas en que pueden encontrarse en un mismo plano una recta y una circunferencia.

Para ello daremos nombre a varios puntos, rectas y segmentos que son singulares en la circunferencia:

Centro, es un punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
Radio, es la distancia desde el centro a un punto de la circunferencia.
Cuerda, es el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros.
Recta secante, es la que corta a la circunferencia en dos puntos.
Recta tangente, es la que toca a la circunferencia en un sólo punto.
Punto de tangencia, es el de contacto de la tangente con la circunferencia.

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Para hallar los puntos comunes a una circunferencia y una recta resolveremos el sistema formado por las ecuaciones de ambas. Es decir, si tenemos:

la circunferencia dada por la ecuación $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ o bien por la ecuación $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$
la recta dada por la ecuación general de una recta: $y - y_{0} = m \cdot (x - x_{0})$

Lo que debemos resolver es uno de los dos sistemas siguientes (dependiendo de como nos venga dada la circunferencia): ${\begin{array}{l} (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} \\ y - y_{0} = m \cdot (x - x_{0}) \end{array} or {\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0 \\ y - y_{0} = m \cdot (x - x_{0}) \end{array}$

Dado que si se tiene la ecuación reducida de la circunferencia desarrollando los cuadrados se consigue la ecuación general, siempre sabemos plantear el problema de manera que el sistema a resolver será: ${\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0 \\ y - y_{0} = m \cdot (x - x_{0}) \end{array}$ Aislando por ejemplo la $y$ en la ecuación de la recta obtenemos: $y = y_{0} + m \cdot (x - x_{0})$ y sustituyendo esta expresión en la ecuación general de la circunferencia obtenemos: $x^{2} + (y_{0} + m \cdot (x - x_{0}))^{2} + A x + B (y_{0} + m \cdot (x - x_{0})) + C = 0$ que si juntamos oportunamente nos da: $\begin{array}{l} x^{2} + (y_{0} + m \cdot (x - x_{0}))^{2} + A x + B (y_{0} + m \cdot (x - x_{0})) + C = 0 \\ x^{2} + y_{0}^{2} + 2 \cdot y_{0} \cdot m \cdot x - 2 \cdot y_{0} \cdot m \cdot x_{0} + m^{2} \cdot (x - x_{0})^{2} + \\ + A x + B y_{0} + B \cdot m \cdot x - B \cdot m \cdot x_{0} + C = 0 \\ x^{2} + m^{2} \cdot x^{2} + 2 \cdot y_{0} \cdot m \cdot x - 2 \cdot m^{2} \cdot x \cdot x_{0} + A x + B \cdot m \cdot x + \\ + y_{0}^{2} - 2 \cdot y_{0} \cdot m \cdot x_{0} + B \cdot y_{0} - B \cdot m \cdot x_{0} + m^{2} \cdot x_{0}^{2} + C = 0 \\ x^{2} (1 + m^{2}) + x (2 \cdot y_{0} \cdot m - 2 \cdot m^{2} \cdot x_{0} + A + B \cdot m) + \\ + y_{0}^{2} - 2 \cdot y_{0} \cdot m \cdot x_{0} + B \cdot m \cdot x_{0} + m^{2} \cdot x_{0}^{2} + C = 0 \end{array}$

que es una ecuación de segundo grado en la variable $x$ .

Dado que en general se obtiene un ecuación de segundo grado, ésta tendrá, dependiendo del signo del discriminante ( $Δ = b^{2} - 4 a c$ ), las siguientes soluciones:

Si $Δ > 0$ Dos soluciones: entonces la recta y la circunferencia son secantes.
Si $Δ = 0$ Una solución: entonces la recta y la circunferencia son tangentes.
Si $Δ < 0$ Ninguna solución: entonces la recta y la circunferencia son exteriores. Por lo tanto no se juntan en ningún punto.

Véanse en el siguiente dibujo algunas de las posibilidades:

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