Ejercicios de Intersección de una circunferencia y una recta

Calcula la posición relativa de la circunferencia $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ y la recta $3 x + y - 5 = 0$ .

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Desarrollo:

Se plantea el sistema formado por las dos ecuaciones: ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0 \\ 3 x + y - 5 = 0 \end{matrix}} \Rightarrow x^{2} + (5 - 3 x)^{2} - 2 x - 3 = 0 \Rightarrow 5 x^{2} - 16 x + 11 = 0$

Calculamos el discriminante de la ecuación de segundo grado: $x = \frac{16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 11}}{2 \cdot 5} = \frac{16 \pm \sqrt{36}}{10} \Rightarrow Δ = 36 > 0$ La recta y la circunferencia son secantes puesto que el discriminante es mayor que cero.

Calculemos los dos puntos de intersección. $x = \frac{16 \pm \sqrt{36}}{10} \Rightarrow x = {\begin{matrix} \frac{11}{5} \\ 1 \end{matrix} \Rightarrow y = {\begin{matrix} \frac{- 8}{5} \\ 2 \end{matrix}$

Solución:

Son secantes en los puntos de la circunferencia $(\frac{11}{5}, - \frac{8}{5})$ y $(1, 2)$ .

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Calcula la posición relativa de la circunferencia $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 20 = 0$ y la recta $3 x + 4 y - 27 = 0$ .

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Desarrollo:

Planteamos el sistema formado por ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 20 = 0 \\ 3 x + 4 y - 27 = 0 \end{matrix}$

Aislamos por ejemplo la $x$ de la ecuación de la recta: $x = \frac{27 - 4 y}{3}$ y la sustituimos en la ecuación general de la circunferencia que nos da el enunciado $(\frac{27 - 4 y}{3})^{2} + y^{2} - 4 (\frac{27 - 4 y}{3}) + 2 y - 20 = 0$ Esta es la ecuación de la que tenemos que mirar el discriminante. Desarrollando los cuadrados tenemos: $\frac{27^{2}}{9} - 2 \cdot \frac{27}{3} \cdot \frac{4 y}{3} + \frac{16 y^{2}}{9} + y^{2} - \frac{4 \cdot 27}{3} + \frac{16 y}{3} + 2 y - 20 = 0$ $(\frac{16}{9} + 1) y^{2} + (\frac{16}{3} + \frac{6}{3} - \frac{72}{3}) y - 20 + \frac{27^{2}}{9} - \frac{4 \cdot 27}{3} = 0$ $(\frac{25}{9}) y^{2} + (- \frac{50}{3}) y - 20 + 27 \cdot 3 - \frac{108}{3} = 0$ $(\frac{25}{9}) y^{2} + (- \frac{50}{3}) y + \frac{75}{3} = 0$ $25 y^{2} - 150 y + 225 = 0$

Resolviendo esta ecuación de segundo grado tenemos: $y = \frac{150 \pm \sqrt{150^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 225}}{2 \cdot 25} = \frac{150 \pm \sqrt{0}}{50} = 3$ Por lo tanto el discriminante es $Δ = \sqrt{22.500 - 22.500} = 0$ y resulta ser que la circunferencia y dicha recta son tangentes en un punto. Sustituyendo la $y$ encontrada en la ecuación de la recta obtenemos: $x = \frac{27 - 4 \cdot 3}{3} = \frac{27 - 12}{3} = \frac{15}{3} = 5$ por lo que el punto de intersección será el $(5, 3)$ .

Solución:

Son tangentes en el punto $(5, 3)$ .

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