Calcular els màxims, mínims i punts d'inflexió de la funció $$f(x)=sin(x)$$
Desenvolupament:
Es farà tot el càlcul sense veure el gràfic de la funció sinus. Al final si utilitzarem el gràfic per comprovar el resultat.
Màxims / Mínims
En primer lloc es calcula la primera derivada i s'iguala a zero: $$$y'=cos(x)=0 \Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{2},\pm\dfrac{3\pi}{2},\pm\dfrac{5\pi}{2},\pm\dfrac{7\pi}{2},\ldots$$$
Es mira, per a cada valor, el signe de la segona derivada i es van trobant els màxims, mínims i punts d'inflexió, $$y''=-sin(x)$$. $$$x=\dfrac{\pi}{2} \rightarrow y''(\dfrac{\pi}{2})=-1 < 0 \Rightarrow Max$$$ $$$x=\dfrac{3\pi}{2} \rightarrow y''(\dfrac{3\pi}{2})=1 > 0 \Rightarrow Min$$$ $$$x=\dfrac{5\pi}{2} \rightarrow y''(\dfrac{5\pi}{2})=-1 < 0 \Rightarrow Max$$$ $$$\ldots$$$
Els valors de la funció en els màxim és $$1$$ i en els mínims $$-1$$.
Punts d'inflexió
S'iguala la segona derivada a zero: $$$y''=-sin(x)=0 \Rightarrow x=0,\pm\pi,\pm2\pi,\pm3\pi,\ldots$$$ $$$y(x)=sin(x)=0$$$
Vegeu ara el gràfic
Solució:
Màxims: $$(\dfrac{\pi}{2},1),(\dfrac{5\pi}{2},1),(\dfrac{9\pi}{2},1),\ldots$$
Mínims: $$(\dfrac{3\pi}{2},-1),(\dfrac{7\pi}{2},-1),(\dfrac{11\pi}{2},-1),\ldots$$
Punts d'inflexió: $$(0,0),(\pm\pi,0),(\pm2\pi,0),\ldots$$