Exercicis de Màxims, mínims i punts d'inflexió d'una funció

Desenvolupament:

Es farà tot el càlcul sense veure el gràfic de la funció sinus. Al final si utilitzarem el gràfic per comprovar el resultat.

Màxims / Mínims

En primer lloc es calcula la primera derivada i s'iguala a zero: $$y^{\prime }=cos(x)=0\Rightarrow x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{2}},\pm {\displaystyle \frac{3\pi }{2}},\pm {\displaystyle \frac{5\pi }{2}},\pm {\displaystyle \frac{7\pi }{2}},\dots$$

Es mira, per a cada valor, el signe de la segona derivada i es van trobant els màxims, mínims i punts d'inflexió, $y^{″}=-sin(x)$. $$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\to y^{″}({\displaystyle \frac{\pi }{2}})=-1<0\Rightarrow Max$$ $$x={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\to y^{″}({\displaystyle \frac{3\pi }{2}})=1>0\Rightarrow Min$$ $$x={\displaystyle \frac{5\pi }{2}}\to y^{″}({\displaystyle \frac{5\pi }{2}})=-1<0\Rightarrow Max$$ $$\dots$$

Els valors de la funció en els màxim és $1$ i en els mínims $-1$.

Punts d'inflexió

S'iguala la segona derivada a zero: $$y^{″}=-sin(x)=0\Rightarrow x=0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\dots$$ $$y(x)=sin(x)=0$$

Vegeu ara el gràfic

Solució:

Màxims: $({\displaystyle \frac{\pi }{2}},1),({\displaystyle \frac{5\pi }{2}},1),({\displaystyle \frac{9\pi }{2}},1),\dots$

Mínims: $({\displaystyle \frac{3\pi }{2}},-1),({\displaystyle \frac{7\pi }{2}},-1),({\displaystyle \frac{11\pi }{2}},-1),\dots$

Punts d'inflexió: $(0,0),(\pm \pi ,0),(\pm 2\pi ,0),\dots$

Amagar desenvolupament i solució