Calcular los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función $$f(x)=sin(x)$$
Desarrollo:
Se hará todo el cálculo sin ver el gráfico de la función seno. Al final sí utilizaremos el gráfico para comprobar el resultado.
Máximos/Mínimos
En primer lugar se calcula la primera derivada y se iguala a cero: $$$y'=cos(x)=0 \Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{2},\pm\dfrac{3\pi}{2},\pm\dfrac{5\pi}{2},\pm\dfrac{7\pi}{2},\ldots$$$
Se mira, para cada valor, el signo de la segunda derivada y se van encontrando los máximos, mínimos y puntos de inflexión, $$y''=-sin(x)$$. $$$x=\dfrac{\pi}{2} \rightarrow y''(\dfrac{\pi}{2})=-1 < 0 \Rightarrow Max$$$ $$$x=\dfrac{3\pi}{2} \rightarrow y''(\dfrac{3\pi}{2})=1 > 0 \Rightarrow Min$$$ $$$x=\dfrac{5\pi}{2} \rightarrow y''(\dfrac{5\pi}{2})=-1 < 0 \Rightarrow Max$$$ $$$\ldots$$$
Los valores de la función en los máximo es $$1$$ y en los mínimos $$-1$$.
Puntos de inflexión
Se iguala la segunda derivada a cero: $$$y''=-sin(x)=0 \Rightarrow x=0,\pm\pi,\pm2\pi,\pm3\pi,\ldots$$$ $$$y(x)=sin(x)=0$$$
Véase ahora el gráfico
Solución:
Máximos: $$(\dfrac{\pi}{2},1),(\dfrac{5\pi}{2},1),(\dfrac{9\pi}{2},1),\ldots$$
Mínimos: $$(\dfrac{3\pi}{2},-1),(\dfrac{7\pi}{2},-1),(\dfrac{11\pi}{2},-1),\ldots$$
Puntos de inflexión: $$(0,0),(\pm\pi,0),(\pm2\pi,0),\ldots$$