Ejercicios de Máximos, mínimos y puntos de inflexión de una función

Desarrollo:

Se hará todo el cálculo sin ver el gráfico de la función seno. Al final sí utilizaremos el gráfico para comprobar el resultado.

Máximos/Mínimos

En primer lugar se calcula la primera derivada y se iguala a cero: $$y^{\prime }=cos(x)=0\Rightarrow x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{2}},\pm {\displaystyle \frac{3\pi }{2}},\pm {\displaystyle \frac{5\pi }{2}},\pm {\displaystyle \frac{7\pi }{2}},\dots$$

Se mira, para cada valor, el signo de la segunda derivada y se van encontrando los máximos, mínimos y puntos de inflexión, $y^{″}=-sin(x)$. $$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\to y^{″}({\displaystyle \frac{\pi }{2}})=-1<0\Rightarrow Max$$ $$x={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\to y^{″}({\displaystyle \frac{3\pi }{2}})=1>0\Rightarrow Min$$ $$x={\displaystyle \frac{5\pi }{2}}\to y^{″}({\displaystyle \frac{5\pi }{2}})=-1<0\Rightarrow Max$$ $$\dots$$

Los valores de la función en los máximo es $1$ y en los mínimos $-1$.

Puntos de inflexión

Se iguala la segunda derivada a cero: $$y^{″}=-sin(x)=0\Rightarrow x=0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\dots$$ $$y(x)=sin(x)=0$$

Véase ahora el gráfico

Solución:

Máximos: $({\displaystyle \frac{\pi }{2}},1),({\displaystyle \frac{5\pi }{2}},1),({\displaystyle \frac{9\pi }{2}},1),\dots$

Mínimos: $({\displaystyle \frac{3\pi }{2}},-1),({\displaystyle \frac{7\pi }{2}},-1),({\displaystyle \frac{11\pi }{2}},-1),\dots$

Puntos de inflexión: $(0,0),(\pm \pi ,0),(\pm 2\pi ,0),\dots$

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