Mitjana aritmètica

La mitjana aritmètica és el valor mitjà de les mostres i és independent de les amplituds dels intervals. Es simbolitza com $\overset{―}{x}$ i es troba només per a variables quantitatives. Es troba sumant tots els valors i dividint pel nombre total de dades.

La fórmula general per $N$ elements és: $\overset{―}{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{n}}{n}$

Exemple

En un partit de bàsquet, es té la següent anotació en els jugadors d'un equip: $0, 2, 4, 5, 8, 8, 10, 15, 38$ Calcular la mitjana d'anotació de l'equip.

Aplicant la fórmula $\overset{―}{x} = \frac{0 + 2 + 4 + 5 + 8 + 9 + 10 + 15 + 38}{9} = \frac{90}{9} = 10$

Càlcul de la mitjana per a dades agrupades

La mitjana en el cas de $N$ dades agrupades en $n$ intervals ve donada per la fórmula $\overset{―}{x} = \frac{x_{1} \cdot f_{1} + x_{2} \cdot f_{2} + x_{3} \cdot f_{3} + \dots + x_{n} \cdot f_{n}}{f_{1} + f_{2} + f_{3} + \dots + f_{n}}$

on $f_{i}$ són les vegades que es repeteix el valor $x_{i}$ .

L'agrupament també es pot fer per intervals, utilitzant després el valor intermedi de l'interval per calcular la mitjana.

Exemple

L'alçada en $c m$ dels jugadors d'un equip de bàsquet està en la següent taula. Calcular la mitjana.

Interval	$x_{i}$	$f_{i}$	$x_{i} \cdot f_{i}$
$[160, 170)$	$165$	$1$	$165$
$[170, 180)$	$175$	$2$	$350$
$[180, 190)$	$185$	$4$	$740$
$[190, 200)$	$195$	$3$	$585$
$[200, 210)$	$205$	$2$	$410$
		$12$	$2250$

Calculem la mitjana per dades agrupades: $\overset{―}{x} = \frac{165 \cdot 1 + 175 \cdot 2 + 185 \cdot 4 + 195 \cdot 3 + 205 \cdot 2}{1 + 2 + 4 + 3 + 2} =$ $= \frac{2250}{12} = 187.5$

Si hi ha un interval d'amplitud no determinada no es pot calcular la mitjana

$[160, 170)$	$165$	$1$	$16$
$[170, 180)$	$175$	$2$	$350$
$[180, 190)$	$185$	$4$	$740$
$[190, 200)$	$195$	$3$	$585$
$[200,)$	$2$
		$12$	$2250$

També cal comentar que la mitjana aritmètica és molt sensible a les puntuacions extremes.

Exemple

En un partit de bàsquet, es té la següent anotació en els jugadors d'un equip: $0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 47$ Calcular la mitjana d'anotació de l'equip.

$\overset{―}{x} = \frac{0 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 47}{9} = \frac{81}{9} = 9$

En aquest cas la mitjana no il·lustra bé a les dades, ja que tots els valors excepte un estan per sota de la mitjana.