Nombres mixtos

Hi ha algunes fraccions que el denominador és menor que el numerador. A aquestes fraccions les anomenem impròpies, en contraposició a les fraccions pròpies, en que el numerador és menor al denominador.

Tota fracció pròpia és menor que la unitat, mentre que les fraccions impròpies són més grans.

El problema que es planteja amb les fraccions impròpies és que en ocasions al operar apareixen nombres molt grans i difícils de tractar.

A continuació hem de simplificar està fracció, o comprovar si es pot. Amb el numerador i el denominador que hem trobat, és difícil veure que: $$\begin{gathered} 153=17\cdot 3^2 \\ 2615=5\cdot 523 \end{gathered}$$

I que per tant, $mcd(153,2615)=1$, i, en conseqüència, la fracció no es pot simplificar.

Per a facilitar aquestes operacions, definim per a cada fracció impròpia el seu nombre mixt que està format per una part entera i una fracció pròpia. Donada una fracció impròpia, el seu nombre mixt s'obté fent la divisió entera, o amb residu associada a la fracció. Si tenim la fracció impròpia ${\displaystyle \frac{D}{d}}$, fem la divisió del dividend $D$ entre el divisor $d$, i obtenim un quocient $q$ i un residu $r$, aleshores el nombre mixt associat a ${\displaystyle \frac{D}{d}}$ és: $${\displaystyle \frac{r}{d}}$$

L'operació que hi ha implícita entre un enter i la fracció d'un nombre mixt és la suma. Així, per passar d'un nombre mixt a la fracció impròpia corresponent, només cal realitzar aquesta suma. Si tenim el nombre mixt:

$q{\displaystyle \frac{r}{d}}$ Tindrem: $${\displaystyle q\frac{r}{d}=q+\frac{r}{d}=q\cdot \frac{d}{d}+\frac{r}{d}=\frac{q\cdot d+r}{d}=\frac{D}{d}}$$

És a dir, per passar de fracció impròpia a nombre mixt cal fer la divisió entera, mentre que per passar de nombre mixt a fracció, cal fer la suma.

La principal aplicació dels nombres mixtos és simplificar les fraccions quan apareixen sumes i restes. La suma o resta de dos nombres mixtos és un nombre mixt la part sencera és la suma de parts senceres, i la fracció és igual a la suma de fraccions. En cas que la fracció resultant no sigui pròpia, es passa a mixta i la seva part sencera se suma a la suma de parts senceres. És a dir, per a sumar o restar els nombres mixtos $a{\displaystyle \frac{b}{c}}$ i $d{\displaystyle \frac{m}{n}}$, farem:

$$\begin{gathered} {\displaystyle a\frac{b}{c}+d\frac{m}{n}=a+\frac{b}{c}+d+\frac{m}{n}=(a+d)+(\frac{b}{c}+\frac{m}{n})} \\ {\displaystyle a\frac{b}{c}-d\frac{m}{n}=a+\frac{b}{c}-(d+\frac{m}{n})=(a-d)+(\frac{b}{c}-\frac{m}{n})} \end{gathered}$$