Números mixtos

Hay algunas fracciones cuyo denominador es menor que el numerador. A dichas fracciones las llamamos impropias, en contraposición a las fracciones propias, cuyo numerador es menor al denominador. Toda fracción propia es menor que la unidad, mientras que las fracciones impropias son mayores.

El problema que se plantea con las fracciones impropias es que en ocasiones al operarlas aparecen números muy grandes y difíciles de tratar.

A continuación debemos simplificar está fracción, o comprobar si se puede. Con el numerador y el denominador que hemos encontrado, es difícil ver que: $$\begin{gathered} 153=17\cdot 3^2 \\ 2615=5\cdot 523 \end{gathered}$$

Y que por tanto, $mcd(153,2615)=1$, y en consecuencia la fracción no se puede simplificar.

Para facilitar estas operaciones, definimos para cada fracción impropia su número mixto que esta formado por una parte entera y una fracción propia. Dada una fracción impropia, su número mixto se obtiene haciendo la división entera, o con residuo, asociada a la fracción. Si tenemos la fracción impropia ${\displaystyle \frac{D}{d}}$, hacemos la división de el dividendo $D$ entre el divisor $d$, y obtenemos un cociente $q$ y un residuo $r$, entonces el número mixto asociado a ${\displaystyle \frac{D}{d}}$ es: $${\displaystyle \frac{r}{d}}$$

La operación que hay implícita entre un entero y la fracción de un número mixto es la suma. Así, para pasar de un número mixto a la fracción impropia correspondiente, solo hay que realizar dicha suma. Si tenemos el número mixto: $q{\displaystyle \frac{r}{d}}$ Tendremos: $${\displaystyle q\frac{r}{d}=q+\frac{r}{d}=q\cdot \frac{d}{d}+\frac{r}{d}=\frac{q\cdot d+r}{d}=\frac{D}{d}}$$

Es decir, para pasar de fracción impropia a número mixto hay que realizar la división entera, mientras que para pasar de número mixto a fracción, hay que realizar la suma.

La principal aplicación de los números mixtos es simplificar las fracciones cuándo aparecen sumas y restas. La suma o resta de dos números mixtos es un número mixto cuya parte entera es la suma de partes enteras, y cuya fracción es igual a la suma de fracciones. En caso que la fracción resultante no sea propia, se pasa a mixta y su parte entera se suma a la suma de partes enteras. Es decir, para sumar o restar los números mixtos $a{\displaystyle \frac{b}{c}}$ y $d{\displaystyle \frac{m}{n}}$, haremos:

$${\displaystyle a\frac{b}{c}+d\frac{m}{n}=a+\frac{b}{c}+d+\frac{m}{n}=(a+d)+(\frac{b}{c}+\frac{m}{n})}$$ $${\displaystyle a\frac{b}{c}-d\frac{m}{n}=a+\frac{b}{c}-(d+\frac{m}{n})=(a-d)+(\frac{b}{c}-\frac{m}{n})}$$