Formalización de los números racionales

Consideramos el conjunto formado por pares de números enteros. Es decir, las parejas $(a,b)$ con $a$ y $b$ números enteros, y $b$ no nulo. Y como es natural asociaremos la fracción ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ al par $(a,b)$.

La fracción ${\displaystyle \frac{m\cdot a}{n\cdot b}}$ con $m$ entero es igual a la fracción ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ y en este sentido debemos considerar que el par $(m\cdot a,n\cdot b)$ y el par $(a,b)$ son iguales.

Esta propiedad corresponde a decir que dos pares $(a,b)$ y $(c,d)$ son iguales si se cumple que $a\cdot d=c\cdot b$, o equivalentemente: $a\cdot d-c\cdot b=0$.

Entonces los pares de números enteros, considerando iguales las parejas que cumplan la propiedad anterior, corresponden a las fracciones tal y como las hemos presentado.

Podemos definir las operaciones entre pares de números del mismo modo que hemos hecho para las fracciones.