Formalització dels nombres racionals

Considerem el conjunt format per parelles de nombres enters. És a dir, els parells $(a,b)$ amb $a$ i $b$ números enters, i $b$ no nul. I com és natural associarem la fracció ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ al parell $(a,b)$.

La fracció ${\displaystyle \frac{m\cdot a}{n\cdot b}}$ amb $m$ enter és igual a la fracció ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ i en aquest sentit hem de considerar que el parell $(m\cdot a,n\cdot b)$ i el parell $(a,b)$ són iguals.

Aquesta propietat correspon a dir que dos parells $(a,b)$ i $(c,d)$ són iguals si es compleix que $a\cdot d=c\cdot b$, o equivalentement: $a\cdot d-c\cdot b=0$.

Llavors els parells de nombres enters, considerant iguals els parells que compleixin la propietat anterior, corresponen a les fraccions tal com les hem presentat.

Podem definir les operacions entre parells de números de la mateixa manera que hem fet per a les fraccions.