Exercicis de Notació, menors complementaris i matriu adjunta

Desenvolupament:

Es busquen els menors complementaris dels elements de la diagonal principal, és a dir, del que elements $a_{11},a_{22},a_{33},a_{44}$.

$$a_{11}=\left(\begin{array}{cccc}\xcancel{1}& \cancel{0}& \cancel{1}& \cancel{0}\\ \bcancel{1}& 1& 0& 2\\ \bcancel{1}& 1& 1& 0\\ \bcancel{1}& 2& 3& 1\end{array}\right)=\begin{array}{c}\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 1& 1& 0\\ 2& 3& 1\end{array}\right|\\ \begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 1& 1& 0\end{array}\end{array}=$$ $$=1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 3\cdot 2+\cancel{2\cdot 0\cdot 0}-2\cdot 1\cdot 2-\cancel{0\cdot 3\cdot 1}-\cancel{1\cdot 0\cdot 1}=1+6-4=3$$

On es fa servir la fórmula de Sarrus per calcular el determinant $3\times 3$.

De la mateixa manera s'han de calcular els altres menors

$$a_{22}=\left(\begin{array}{cccc}1& \cancel{0}& 1& 0\\ \bcancel{1}& \xcancel{1}& \bcancel{0}& \bcancel{2}\\ 1& \cancel{1}& 1& 0\\ 1& \cancel{2}& 3& 1\end{array}\right)=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 3& 1\end{array}\right|=0$$ (ja que hi ha files repetides)

$$a_{33}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cancel{1}& 0\\ 1& 1& \cancel{0}& 2\\ \bcancel{1}& \bcancel{1}& \xcancel{1}& \bcancel{0}\\ 1& 2& \cancel{3}& 1\end{array}\right)=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=$$ $$=1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 2\cdot 0+1\cdot 0\cdot 2-0\cdot 1\cdot 1-2\cdot 2\cdot 1-1\cdot 0\cdot 1=-3$$

$$a_{44}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& \cancel{0}\\ 1& 1& 0& \cancel{2}\\ 1& 1& 1& \cancel{0}\\ \bcancel{1}& \bcancel{2}& \bcancel{3}& \xcancel{1}\end{array}\right)=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=$$ $$=1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 0\cdot 0-1\cdot 1\cdot 1-0\cdot 1\cdot 1-1\cdot 0\cdot 1=1$$

Solució:

$a_{11}=3,a_{22}=0,a_{33}=-3,a_{44}=1$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Si escric la matriu $2\times 2$ que segueix, $\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right)$ el determinant s'escriu $\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right|$

El mateix per al cas $3\times 3$ $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\to \left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right|$

Solució:

El determinant s'escriu $\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right|$ i $\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right|$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Demanen trobar $adj(A)$. El primer pas és calcular tots els menors complementaris.

$$a_{11}=\left|\begin{array}{ccc}\xcancel{1}& \cancel{0}& \cancel{2}\\ \bcancel{0}& 3& 1\\ \bcancel{3}& 1& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-1$$

$$a_{12}=\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& 0\end{array}\right|=-3$$

$$a_{13}=\left|\begin{array}{cc}0& 3\\ 3& 1\end{array}\right|=-9$$

$$a_{21}=\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 0\end{array}\right|=-2$$

$$a_{22}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right|=-6$$

$$a_{23}=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right|=1$$

$$a_{31}=\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ 3& 1\end{array}\right|=-6$$

$$a_{32}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|=1$$

$$a_{33}=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right|=3$$

Per calcular la matriu adjunta hem de tenir en compte els signes!

$$\left(\begin{array}{ccc}+& -& +\\ -& +& -\\ +& -& +\end{array}\right)$$ I finalment, $$adj(A)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& -9\\ 2& -6& -1\\ -6& -1& 3\end{array}\right)$$

Solució:

$adj(A)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& -9\\ 2& -6& -1\\ -6& -1& 3\end{array}\right)$

Amagar desenvolupament i solució