Notació, menors complementaris i matriu adjunta

Notació

És sabut que una matriu $3 \times 3$ s'escriu així:

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})$

on els subíndexs indiquen la fila i la columna respectivament.

Si s'escriu:

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |$

vol dir que volem calcular el determinant d'aquesta matriu.

Evidentment s'ha escrit el cas d'una matriu $3 \times 3$ -és el cas més comú-, encara que també poden calcular els determinants de matrius $2 \times 2$ , $4 \times 4$ o $N \times N$ . Només té sentit parlar de determinants de matrius quadrades.

Menors complementaris

Sigui la matriu $3 \times 3$ :

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix})$

El menor complementari de l'element $a_{11}$ és el determinant d'ordre 2 que sobreviu quan s'eliminen la fila 1 i la columna 1.

És a dir, el menor complementari buscat serà:

$M_{11} = | \begin{matrix} / 1 & / 2 & / 3 \\ / 4 & 5 & 6 \\ / 7 & 8 & 9 \end{matrix} | = 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6 = - 3$

Calculeu ara el menor complementari de l'element $a_{23}$ , repetint que es tracta del determinant d'ordre 2 que sobreviu quan s'eliminen la fila 2 i la columna 3.

$M_{23} = | \begin{matrix} 1 & 2 & / 3 \\ / 4 & / 5 & / 6 \\ 7 & 8 & / 9 \end{matrix} | = 1 \cdot 8 - 7 \cdot 2 = - 6$

De forma general, doncs, el menor complementari de l'element $a_{i j}$ s'escriu com $M_{i j}$ i és el determinant d'ordre inferior que sobreviu quan s'eliminen la fila $i$ i la columna $j$ respectivament.

Adjunts

Es diu adjunt d'un element de la matriu al seu menor complementari anteposant:

El signe $+$ quan $i + j$ sigui parell
El signe $-$ quan $i + j$ sigui senar

Per seguir els exemples anteriors l'adjunt de l'element $a_{11}$ s'escriurà $A_{11}$ i haurà de portar el signe $+$ ( $1 + 1 = 2$ , que és parell), mentre que l'adjunt de l'element $a_{23}$ s'escriurà $A_{23}$ i haurà de portar el signe $-$ ( $2 + 3 = 5$ , que és senar).

Utilitzant la notació precisa, arribem a la conclusió que $A_{11} = + M_{11} = - 3$ i $A_{23} = - M_{23} = 6$ .

Vegeu un altre exemple:

Exemple

Sigui la matriu:

$(\begin{matrix} - 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & - 3 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix})$

Es vol trobar l'adjunt de l'element $a_{11}$ .

Es calcula el menor complementari:

$M_{11} = | \begin{matrix} - / 1 & / 0 & / 2 \\ / 1 & 1 & - 3 \\ / 0 & 2 & 4 \end{matrix} | = 1 \cdot 4 - 2 \cdot (- 3) = 10$

Es comprova el signe que correspon: $1 + 1 = 2$ , és a dir parell, i per tant el signe és positiu. L'adjunt de $a_{11}$ és $A_{11} = 10$ .

Trobem ara l'adjunt de l'element $a_{22}$ :

$M_{22} = | \begin{matrix} - 1 & / 0 & 2 \\ - / 1 & / 1 & - / 3 \\ 0 & / 2 & 4 \end{matrix} | \to | \begin{matrix} - 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix} | = (- 1) \cdot 4 - 2 \cdot 0 = - 4$

Es comprova el signe: $2 + 2 = 4$ , que és parell, i per tant el signe no canvia, és a dir, $A_{22} = M_{22}$ .

I així es podria trobar successivament l'adjunt de tots els elements $a_{i j}$ de la matriu.

Matriu adjunta

En substituir cada element de la matriu $A$ pel seu adjunt obtenim l'anomenada matriu adjunta, que s'escriu $A d j (A)$ .

Calculem, per l'exemple anterior, començant pels menors complementaris:

$\begin{matrix} M_{11} = | \begin{matrix} 1 & - 3 \\ 2 & 4 \end{matrix} | = 10 & M_{12} = | \begin{matrix} 1 & - 3 \\ 0 & 4 \end{matrix} | = 4 & M_{13} = | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} | = 3 \\ M_{21} = | \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} | = - 4 & M_{22} = | \begin{matrix} - 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix} | = - 4 & M_{23} = | \begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} | = - 2 \\ M_{31} = | \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & - 3 \end{matrix} | = - 2 & M_{32} = | \begin{matrix} - 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix} | = - 4 & M_{33} = | \begin{matrix} - 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} | = - 1 \end{matrix}$

S'han trobat els nou menors complementaris, però cal afegir el signes de cada un d'ells segons si la suma $i + j$ sigui parell o senar. Resumint, el signes quedaran així:

$(\begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix})$

i per tant la matriu adjunta serà:

$A d j (\begin{matrix} - 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & - 3 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 & - 4 & 3 \\ 4 & - 4 & 2 \\ - 2 & 4 & - 1 \end{matrix})$