Propietats dels determinants

Els determinants tenen certes propietats que s'han de conèixer. Aquestes propietats són de gran ajuda per convertir el càlcul de determinants en alguna cosa una mica menys lenta i pesada.

Vegeu, doncs, algunes d'aquestes propietats:

1. El determinant d'una matriu i de la seva transposada (la matriu transposada resulta de girar les files d'una matriu convertint-les en columnes) són iguals.

$$$\left| A \right| = \left| A^t \right|$$$

2. El determinant d'una matriu és nul, $$\left| A \right|=0$$ quan:

   1. La matriu té dues línies iguals. És fàcil demostrar com a exercici per a un cas $$3 \times 3$$ per exemple:

   $$$\begin{matrix} \left| \begin {matrix}a & b & c\\ d & e & f\\ a & b & c \end{matrix}\right| \\ \end{matrix}= a \cdot e \cdot c+ d \cdot b \cdot c + a \cdot b \cdot f- c \cdot e \cdot a - f \cdot b \cdot a - c \cdot b \cdot d =0$$$

   2. Tots els elements d'una línia són nuls.
   3. Els elements d'una línia són combinació lineal d'altres línies. Això és:

   $$$\left| \begin{matrix}2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \\ 3 & 5 & 6\end{matrix}\right|$$$

   La fila 3 és combinació lineal de les altres dues ($$f_3=f_1+f_2$$). Sense calcular res se sap que el determinant serà nul.

3. Si canviem dues línies paral·leles el determinant canvia de signe:

$$$\left| \begin{matrix}0 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 7 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}\right|=-\left| \begin{matrix}1 & 2 & 7 \\ 0 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 2\end{matrix}\right|$$$

4. Si als elements d'una línia se li sumen els elements d'una altra paral·lela multiplicats prèviament per un nombre real el valor del determinant no varia.

$$$\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}\right| \rightarrow C_3= 2\cdot C_1+C_3 \rightarrow \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 8 \end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}\right|$$$

5. Multiplicar un determinant per un nombre real és el mateix que multiplicar només una de les seves línies per aquest nombre real.
6. El determinant d'un producte és igual al producte de determinants.

$$$\left| A \cdot B \right|= \left|A\right| \cdot \left| B \right|$$$

Sabent aquestes propietats al càlcul de determinants es pot agilitar. Tenint en compte la propietat 4 podem anar modificant el nostre determinant mitjançant combinacions lineals de tal manera que pugui aconseguir el major nombre de $$0$$ o $$1$$ possibles, cosa que alleugerirà molt els càlculs.