Exercicis de Propietats dels determinants

Desenvolupament:

Construïm una matriu $$4\times4$$ deixant la columna 4 buida $$$\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & \fbox{ } \\ -1 & 0 & 3 & \fbox{ } \\ -2 & 1 & -1 & \fbox{ } \\ 0 & 0 & 1 & \fbox{ } \end{matrix} \right)$$$

Exigeixo que la columna 4 sigui combinació lineal de les columnes C1 i C2.

$$C4=C1+C2$$ (Hi ha infinites possibilitats)

Llavors la matriu $$4\times4$$ queda $$$\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & 3 & -1 \\ -2 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right)$$$

Calculeu ara el determinant. És necessari fer-ho? Per pròpia construcció es compleix la propietat 2.c) llavors el determinant és nul.

Solució:

$$det(A)=0$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

En primer lloc creem la matriu $$3\times3$$ matrix $$$A=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & -4 \end{matrix} \right)$$$ La construcció de la matriu transposada es fa intercanviant files per columnes, és a dir, $$$A^t=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \end{matrix} \right)$$$ Calculeu el determinant: $$$det(A^t)=\left|\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \end{matrix} \right|=-8+0+2-(-4)-1-0=-3$$$ Calculeu també det (A). El resultat hauria de ser el mateix, és a dir de calcular det (A) pot ser una manera per comprovar que efectivament no ens havíem equivocat en els càlculs. $$$det(A)=\left|\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & -4 \end{matrix} \right|=-8+2+0-(-4)-1-0=-3$$$ Els resultats coincideixen.

Solució:

$$det(A)=det(A^t)=-3$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

El primer pas és construir la matriu, en aquest cas $$3\times3$$, més general possible però que tingui una columna repetida. Aquesta és $$$A=\left(\begin{matrix} a & d & a \\ b & e & b \\ c & f & c \end{matrix} \right)$$$ calculem ara el determinant (es pot fer mitjançant el mètode general o usant la regla de Sarrus) $$$det(A)=\left|\begin{matrix} a & d & a \\ b & e & b \\ c & f & c \end{matrix} \right|=\cancel{a\cdot e\cdot c}+\bcancel{b\cdot f \cdot a} + \xcancel{c \cdot d \cdot b}$$$ $$$ - \cancel{a \cdot e \cdot c} - \bcancel{b\cdot f \cdot a} - \xcancel{c \cdot d \cdot b} = 0$$$

Solució:

$$det(A)=0$$

Amagar desenvolupament i solució