Exercicis de Propietats dels determinants

Desenvolupament:

Construïm una matriu $4\times 4$ deixant la columna 4 buida $$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& \boxed{}\\ -1& 0& 3& \boxed{}\\ -2& 1& -1& \boxed{}\\ 0& 0& 1& \boxed{}\end{array}\right)$$

Exigeixo que la columna 4 sigui combinació lineal de les columnes C1 i C2.

$C4=C1+C2$ (Hi ha infinites possibilitats)

Llavors la matriu $4\times 4$ queda $$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 2\\ -1& 0& 3& -1\\ -2& 1& -1& -1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$$

Calculeu ara el determinant. És necessari fer-ho? Per pròpia construcció es compleix la propietat 2.c) llavors el determinant és nul.

Solució:

$det(A)=0$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

En primer lloc creem la matriu $3\times 3$ matrix $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 2& 1\\ -2& 1& -4\end{array}\right)$$ La construcció de la matriu transposada es fa intercanviant files per columnes, és a dir, $$A^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 0& 2& 1\\ 1& 1& -4\end{array}\right)$$ Calculeu el determinant: $$det(A^t)=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 0& 2& 1\\ 1& 1& -4\end{array}\right|=-8+0+2-(-4)-1-0=-3$$ Calculeu també det (A). El resultat hauria de ser el mateix, és a dir de calcular det (A) pot ser una manera per comprovar que efectivament no ens havíem equivocat en els càlculs. $$det(A)=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 2& 1\\ -2& 1& -4\end{array}\right|=-8+2+0-(-4)-1-0=-3$$ Els resultats coincideixen.

Solució:

$det(A)=det(A^t)=-3$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

El primer pas és construir la matriu, en aquest cas $3\times 3$, més general possible però que tingui una columna repetida. Aquesta és $$A=\left(\begin{array}{ccc}a& d& a\\ b& e& b\\ c& f& c\end{array}\right)$$ calculem ara el determinant (es pot fer mitjançant el mètode general o usant la regla de Sarrus) $$det(A)=\left|\begin{array}{ccc}a& d& a\\ b& e& b\\ c& f& c\end{array}\right|=\cancel{a\cdot e\cdot c}+\bcancel{b\cdot f\cdot a}+\xcancel{c\cdot d\cdot b}$$ $$-\cancel{a\cdot e\cdot c}-\bcancel{b\cdot f\cdot a}-\xcancel{c\cdot d\cdot b}=0$$

Solució:

$det(A)=0$

Amagar desenvolupament i solució