Ejercicios de Propiedades de los determinantes

Desarrollo:

En primer lugar creamos la matriz $3\times 3$ $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 2& 1\\ -2& 1& -4\end{array}\right)$$ La construcción de la matriz traspuesta se hace intercambiando filas por columnas, es decir, $$A^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 0& 2& 1\\ 1& 1& -4\end{array}\right)$$ Calcúlese el determinante: $$det(A^t)=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 0& 2& 1\\ 1& 1& -4\end{array}\right|=-8+0+2-(-4)-1-0=-3$$ Calcúlese también det(A). El resultado debería ser el mismo, o sea que calcular det(A) puede ser una manera para comprobar que efectivamente no nos habíamos equivocado en los cálculos. $$det(A)=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 2& 1\\ -2& 1& -4\end{array}\right|=-8+2+0-(-4)-1-0=-3$$ Los resultados coinciden.

Solución:

$det(A)=det(A^t)=-3$

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Desarrollo:

Construimos una matriz $4\times 4$ dejando la columna 4 vacía $$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& \boxed{}\\ -1& 0& 3& \boxed{}\\ -2& 1& -1& \boxed{}\\ 0& 0& 1& \boxed{}\end{array}\right)$$

Exijo que la columna 4 sea combinación lineal de las columnas C1 y C2.

$C4=C1+C2$ (Hay infinitas posibilidades)

Entonces la matriz $4\times 4$ queda $$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 2\\ -1& 0& 3& -1\\ -2& 1& -1& -1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$$

Calcúlese ahora el determinante. ¿Es necesario hacerlo? Por propia construcción se cumple la propiedad 2.c) entonces el determinante es nulo.

Solución:

$det(A)=0$

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Desarrollo:

El primer paso es construir la matriz, en este caso $3\times 3$, más general posible pero que tenga una columna repetida. Esa es $$A=\left(\begin{array}{ccc}a& d& a\\ b& e& b\\ c& f& c\end{array}\right)$$ calculemos ahora el determinante (se puede hacer mediante el método general o usando la regla de Sarrus) $$det(A)=\left|\begin{array}{ccc}a& d& a\\ b& e& b\\ c& f& c\end{array}\right|=\cancel{a\cdot e\cdot c}+\bcancel{b\cdot f\cdot a}+\xcancel{c\cdot d\cdot b}$$ $$-\cancel{a\cdot e\cdot c}-\bcancel{b\cdot f\cdot a}-\xcancel{c\cdot d\cdot b}=0$$

Solución:

$det(A)=0$

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