Ejercicios de Propiedades de los determinantes

Desarrollo:

En primer lugar creamos la matriz $$3\times3$$ $$$A=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & -4 \end{matrix} \right)$$$ La construcción de la matriz traspuesta se hace intercambiando filas por columnas, es decir, $$$A^t=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \end{matrix} \right)$$$ Calcúlese el determinante: $$$det(A^t)=\left|\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \end{matrix} \right|=-8+0+2-(-4)-1-0=-3$$$ Calcúlese también det(A). El resultado debería ser el mismo, o sea que calcular det(A) puede ser una manera para comprobar que efectivamente no nos habíamos equivocado en los cálculos. $$$det(A)=\left|\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & -4 \end{matrix} \right|=-8+2+0-(-4)-1-0=-3$$$ Los resultados coinciden.

Solución:

$$det(A)=det(A^t)=-3$$

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Desarrollo:

Construimos una matriz $$4\times4$$ dejando la columna 4 vacía $$$\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & \fbox{ } \\ -1 & 0 & 3 & \fbox{ } \\ -2 & 1 & -1 & \fbox{ } \\ 0 & 0 & 1 & \fbox{ } \end{matrix} \right)$$$

Exijo que la columna 4 sea combinación lineal de las columnas C1 y C2.

$$C4=C1+C2$$ (Hay infinitas posibilidades)

Entonces la matriz $$4\times4$$ queda $$$\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & 3 & -1 \\ -2 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right)$$$

Calcúlese ahora el determinante. ¿Es necesario hacerlo? Por propia construcción se cumple la propiedad 2.c) entonces el determinante es nulo.

Solución:

$$ det(A)=0$$

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Desarrollo:

El primer paso es construir la matriz, en este caso $$3\times3$$, más general posible pero que tenga una columna repetida. Esa es $$$A=\left(\begin{matrix} a & d & a \\ b & e & b \\ c & f & c \end{matrix} \right)$$$ calculemos ahora el determinante (se puede hacer mediante el método general o usando la regla de Sarrus) $$$det(A)=\left|\begin{matrix} a & d & a \\ b & e & b \\ c & f & c \end{matrix} \right|=\cancel{a\cdot e\cdot c}+\bcancel{b\cdot f \cdot a} + \xcancel{c \cdot d \cdot b}$$$ $$$ - \cancel{a \cdot e \cdot c} - \bcancel{b\cdot f \cdot a} - \xcancel{c \cdot d \cdot b} = 0$$$

Solución:

$$det(A)=0$$

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