Notación
Es sabido que una matriz $$3 \times 3$$ se escribe como sigue:
$$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$$
donde los subíndices indican la fila y la columna respectivamente.
Si se escribe
$$$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|$$$
significa que quiere calcularse el determinante de esta matriz.
Evidentemente se ha escrito el caso de una matriz $$3 \times 3$$ -por ser el más común-, aunque también pueden calcularse los determinantes de matrices $$2 \times 2$$, $$4 \times 4$$ o $$N \times N$$. Solamente tiene sentido hablar de determinantes de matrices cuadradas.
Menores complementarios
Sea la matriz $$3 \times 3$$:
$$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$$
El menor complementario del elemento $$a_{11}$$ es el determinante de orden 2 que sobrevive cuando se eliminan la fila 1 y la columna 1.
Es decir, el menor complementario buscado será:
$$$M_{11}=\left|\begin{matrix} \rlap{/}{ 1}&\rlap{/}2&\rlap{/}3\\ \rlap{/}4&5&6\\ \rlap{/}7 &8&9 \end{matrix}\right|=5 \cdot 9-8\cdot 6=-3$$$
Calcúlese ahora el menor complementario del elemento $$a_{23}$$, repitiendo que se trata del determinante de orden 2 que sobrevive cuando se eliminan la fila 2 y la columna 3.
$$$M_{23}\left|\begin{matrix} 1&2&\rlap{/}3\\ \rlap{/}4&\rlap{/}5&\rlap{/}6\\ 7 &8&\rlap{/}9 \end{matrix}\right|=1 \cdot 8-7\cdot 2=-6$$$
De forma general, pues, el menor complementario del elemento $$a_{ij}$$ se escribe como $$M_{ij}$$ y es el determinante de orden inferior que sobrevive cuando se eliminan la fila $$i$$ y la columna $$j$$ respectivamente.
Adjuntos
Se llama adjunto de un elemento de matriz a su menor complementario anteponiendo:
- El signo $$+$$ cuando $$i+j$$ sea par
- El signo $$-$$ cuando $$i+j$$ sea impar
Por seguir los ejemplos anteriores el adjunto del elemento $$a_{11}$$ se escribirá $$A_{11}$$ y deberá llevar el signo $$+$$ ($$1+1=2$$, que es par), mientras que el adjunto del elemento $$a_{23}$$ se escribirá $$A_{23}$$ y deberá llevar el signo $$-$$ ($$2+3=5$$, que es impar).
Utilizando la notación precisa, concluimos que $$A_{11} = +M_{11}= -3$$ i $$A_{23} =-M_{23}= 6$$.
Véase otro ejemplo:
Sea la matriz:
$$$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & 4\end{pmatrix}$$$
Se quiere encontrar el adjunto del elemento $$a_{11}$$.
Se calcula el menor complementario:
$$$M_{11}=\left| \begin{matrix} -\rlap{/}1 & \rlap{/}0 & \rlap{/}2 \\ \rlap{/} 1 & 1 & -3 \\ \rlap{/}0 & 2 & 4\end{matrix}\right|= 1 \cdot 4 - 2 \cdot (-3)=10$$$
Se comprueba el signo que corresponde: $$1+1=2$$, o sea par, y por lo tanto el signo es positivo. El adjunto de $$a_{11}$$ es $$A_{11}=10$$.
Encontremos ahora el adjunto del elemento $$a_{22}$$:
$$$M_{22}=\left|\begin{matrix} -1 & \rlap{/}0 & 2 \\ -\rlap{/}1 & \rlap{/}1 &-\rlap{/}3 \\ 0 & \rlap{/}2 & 4 \end{matrix}\right| \rightarrow \left|\begin{matrix} -1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix}\right|=(-1) \cdot 4 -2 \cdot 0 = -4$$$
Se comprueba el signo: $$2+2=4$$, que es par, y por lo tanto el signo no cambia, es decir, $$A_{22}=M_{22}$$.
Y así se podría encontrar sucesivamente el adjunto de todos los elementos $$a_{ij}$$ de la matriz.
Matriz adjunta
Si sustituyo cada elemento de la matriz $$A$$ por su adjunto obtengo la llamada matriz adjunta, que se escribe $$Adj(A)$$.
Calcúlese para el ejemplo anterior, empezando por los menores complementarios:
$$$\begin{matrix} M_{11}=\left|\begin{matrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{matrix}\right|=10 & M_{12}=\left|\begin{matrix} 1 &-3 \\ 0 & 4 \end{matrix}\right|=4 & M_{13}=\left|\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}\right|=3\\\\ M_{21}=\left|\begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}\right|=-4 & M_{22}=\left|\begin{matrix} -1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix}\right|=-4 & M_{23}=\left|\begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}\right|=-2\\ \\ M_{31}=\left|\begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & -3 \end{matrix}\right|=-2 & M_{32}=\left|\begin{matrix} -1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix}\right|=-4 & M_{33}=\left|\begin{matrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}\right|=-1 \end{matrix}$$$
Se han encontrado los nueve menores complementarios, pero deben añadirse lo signos de cada uno de ellos según si la suma $$i+j$$ sea par o impar. Resumiendo, lo signos quedarán como sigue:
$$$\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & +\end{pmatrix}$$$
y por lo tanto la matriz adjunta será:
$$$Adj\begin{pmatrix}-1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 10 & -4 & 3 \\ 4 & -4 & 2 \\ -2 & 4 & -1\end{pmatrix}$$$