Notación, menores complementarios y matriz adjunta

Notación

Es sabido que una matriz $3 \times 3$ se escribe como sigue:

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})$

donde los subíndices indican la fila y la columna respectivamente.

Si se escribe

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |$

significa que quiere calcularse el determinante de esta matriz.

Evidentemente se ha escrito el caso de una matriz $3 \times 3$ -por ser el más común-, aunque también pueden calcularse los determinantes de matrices $2 \times 2$ , $4 \times 4$ o $N \times N$ . Solamente tiene sentido hablar de determinantes de matrices cuadradas.

Menores complementarios

Sea la matriz $3 \times 3$ :

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix})$

El menor complementario del elemento $a_{11}$ es el determinante de orden 2 que sobrevive cuando se eliminan la fila 1 y la columna 1.

Es decir, el menor complementario buscado será:

$M_{11} = | \begin{matrix} / 1 & / 2 & / 3 \\ / 4 & 5 & 6 \\ / 7 & 8 & 9 \end{matrix} | = 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6 = - 3$

Calcúlese ahora el menor complementario del elemento $a_{23}$ , repitiendo que se trata del determinante de orden 2 que sobrevive cuando se eliminan la fila 2 y la columna 3.

$M_{23} | \begin{matrix} 1 & 2 & / 3 \\ / 4 & / 5 & / 6 \\ 7 & 8 & / 9 \end{matrix} | = 1 \cdot 8 - 7 \cdot 2 = - 6$

De forma general, pues, el menor complementario del elemento $a_{i j}$ se escribe como $M_{i j}$ y es el determinante de orden inferior que sobrevive cuando se eliminan la fila $i$ y la columna $j$ respectivamente.

Adjuntos

Se llama adjunto de un elemento de matriz a su menor complementario anteponiendo:

El signo $+$ cuando $i + j$ sea par
El signo $-$ cuando $i + j$ sea impar

Por seguir los ejemplos anteriores el adjunto del elemento $a_{11}$ se escribirá $A_{11}$ y deberá llevar el signo $+$ ( $1 + 1 = 2$ , que es par), mientras que el adjunto del elemento $a_{23}$ se escribirá $A_{23}$ y deberá llevar el signo $-$ ( $2 + 3 = 5$ , que es impar).

Utilizando la notación precisa, concluimos que $A_{11} = + M_{11} = - 3$ i $A_{23} = - M_{23} = 6$ .

Véase otro ejemplo:

Ejemplo

Sea la matriz:

$(\begin{matrix} - 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & - 3 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix})$

Se quiere encontrar el adjunto del elemento $a_{11}$ .

Se calcula el menor complementario:

$M_{11} = | \begin{matrix} - / 1 & / 0 & / 2 \\ / 1 & 1 & - 3 \\ / 0 & 2 & 4 \end{matrix} | = 1 \cdot 4 - 2 \cdot (- 3) = 10$

Se comprueba el signo que corresponde: $1 + 1 = 2$ , o sea par, y por lo tanto el signo es positivo. El adjunto de $a_{11}$ es $A_{11} = 10$ .

Encontremos ahora el adjunto del elemento $a_{22}$ :

$M_{22} = | \begin{matrix} - 1 & / 0 & 2 \\ - / 1 & / 1 & - / 3 \\ 0 & / 2 & 4 \end{matrix} | \to | \begin{matrix} - 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix} | = (- 1) \cdot 4 - 2 \cdot 0 = - 4$

Se comprueba el signo: $2 + 2 = 4$ , que es par, y por lo tanto el signo no cambia, es decir, $A_{22} = M_{22}$ .

Y así se podría encontrar sucesivamente el adjunto de todos los elementos $a_{i j}$ de la matriz.

Matriz adjunta

Si sustituyo cada elemento de la matriz $A$ por su adjunto obtengo la llamada matriz adjunta, que se escribe $A d j (A)$ .

Calcúlese para el ejemplo anterior, empezando por los menores complementarios:

$\begin{matrix} M_{11} = | \begin{matrix} 1 & - 3 \\ 2 & 4 \end{matrix} | = 10 & M_{12} = | \begin{matrix} 1 & - 3 \\ 0 & 4 \end{matrix} | = 4 & M_{13} = | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} | = 3 \\ M_{21} = | \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} | = - 4 & M_{22} = | \begin{matrix} - 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix} | = - 4 & M_{23} = | \begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} | = - 2 \\ M_{31} = | \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & - 3 \end{matrix} | = - 2 & M_{32} = | \begin{matrix} - 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix} | = - 4 & M_{33} = | \begin{matrix} - 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} | = - 1 \end{matrix}$

Se han encontrado los nueve menores complementarios, pero deben añadirse lo signos de cada uno de ellos según si la suma $i + j$ sea par o impar. Resumiendo, lo signos quedarán como sigue:

$(\begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix})$

y por lo tanto la matriz adjunta será:

$A d j (\begin{matrix} - 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & - 3 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 & - 4 & 3 \\ 4 & - 4 & 2 \\ - 2 & 4 & - 1 \end{matrix})$