Ejercicios de Notación, menores complementarios y matriz adjunta

Desarrollo:

Si escribo la matriz $$2\times2$$ que sigue, $$\left(\begin{matrix} 1 & -1\\ 2 & 1 \end{matrix}\right)$$ el determinante se escribe $$\left|\begin{matrix} 1 & -1\\ 2 & 1 \end{matrix}\right|$$

Lo mismo para el caso $$3\times3$$ $$\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right) \rightarrow \left|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right|$$

Solución:

El determinante se escribe $$\left|\begin{matrix} 1 & -1\\ 2 & 1 \end{matrix}\right|$$ i $$\left|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right|$$

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Desarrollo:

Se buscan los menores complementarios de los elementos de la diagonal principal, es decir, de lo elementos $$a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{44}$$.

$$$a_{11}=\left(\begin{matrix} \xcancel{1} & \cancel{0} & \cancel{1} & \cancel{0} \\ \bcancel{1} & 1 & 0 & 2\\ \bcancel{1} & 1 & 1 & 0 \\ \bcancel{1} & 2 & 3 & 1 \end{matrix}\right)=\begin{matrix} \left|\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0\\ 2 & 3 & 1 \end{matrix}\right| \\ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}\end{matrix}=$$$ $$$=1\cdot1\cdot1+1\cdot3\cdot2+\cancel{2\cdot0\cdot0}-2\cdot1\cdot2-\cancel{0\cdot3\cdot1}-\cancel{1\cdot0\cdot1}=1+6-4=3$$$

Donde se usa la fórmula de Sarrus para calcular el determinante $$3\times3$$.

De la misma forma deben calcularse los demás menores

$$$a_{22}=\left(\begin{matrix} 1 & \cancel{0} & 1 & 0 \\ \bcancel{1} & \xcancel{1} & \bcancel{0} & \bcancel{2}\\ 1 & \cancel{1} & 1 & 0 \\ 1 & \cancel{2} & 3 & 1 \end{matrix}\right)=\left|\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 3 & 1 \end{matrix}\right| = 0 $$$ (pues existen filas repetidas)

$$$a_{33}=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & \cancel{1} & 0 \\ 1 & 1 & \cancel{0} & 2\\ \bcancel{1} & \bcancel{1} & \xcancel{1} & \bcancel{0} \\ 1 & 2 & \cancel{3} & 1 \end{matrix}\right)=\left|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}\right| =$$$ $$$=1\cdot1\cdot1+1\cdot2\cdot0+1\cdot0\cdot2-0\cdot1\cdot1-2\cdot2\cdot1-1\cdot0\cdot1=-3$$$

$$$a_{44}=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & \cancel{0} \\ 1 & 1 & 0 & \cancel{2}\\ 1 & 1 & 1 & \cancel{0} \\ \bcancel{1} & \bcancel{2} & \bcancel{3} & \xcancel{1} \end{matrix}\right)=\left|\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right| =$$$ $$$=1\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot1+1\cdot0\cdot0-1\cdot1\cdot1-0\cdot1\cdot1-1\cdot0\cdot1=1$$$

Solución:

$$a_{11}=3, a_{22}=0, a_{33}=-3, a_{44}=1$$

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Desarrollo:

Se pide encontrar $$adj(A)$$. El primer paso es calcular todos los menores complementarios

$$$a_{11}=\left|\begin{matrix} \xcancel{1} & \cancel{0} & \cancel{2} \\ \bcancel{0} & 3 & 1\\ \bcancel{3} & 1 & 0 \end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right| = -1$$$

$$$a_{12}=\left|\begin{matrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{matrix}\right| = -3$$$

$$$a_{13}=\left|\begin{matrix} 0 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix}\right| = -9$$$

$$$a_{21}=\left|\begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right| = -2$$$

$$$a_{22}=\left|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{matrix}\right| = -6$$$

$$$a_{23}=\left|\begin{matrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{matrix}\right| = 1$$$

$$$a_{31}=\left|\begin{matrix} 0 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix}\right| = -6$$$

$$$a_{32}=\left|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right| = 1$$$

$$$a_{33}=\left|\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}\right| = 3$$$

Para calcular la matriz adjunta debemos tener en cuenta los signos!

$$$\left(\begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix}\right)$$$ Y finalmente, pues, $$$adj(A)=\left(\begin{matrix} -1 & 3 & -9 \\ 2 & -6 & -1 \\ -6 & -1 & 3 \end{matrix}\right)$$$

Solución:

$$adj(A)=\left(\begin{matrix} -1 & 3 & -9 \\ 2 & -6 & -1 \\ -6 & -1 & 3 \end{matrix}\right)$$

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