Ejercicios de Notación, menores complementarios y matriz adjunta

Desarrollo:

Si escribo la matriz $2\times 2$ que sigue, $\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right)$ el determinante se escribe $\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right|$

Lo mismo para el caso $3\times 3$ $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\to \left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right|$

Solución:

El determinante se escribe $\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right|$ i $\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right|$

Ocultar desarrollo y solución

Desarrollo:

Se buscan los menores complementarios de los elementos de la diagonal principal, es decir, de lo elementos $a_{11},a_{22},a_{33},a_{44}$.

$$a_{11}=\left(\begin{array}{cccc}\xcancel{1}& \cancel{0}& \cancel{1}& \cancel{0}\\ \bcancel{1}& 1& 0& 2\\ \bcancel{1}& 1& 1& 0\\ \bcancel{1}& 2& 3& 1\end{array}\right)=\begin{array}{c}\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 1& 1& 0\\ 2& 3& 1\end{array}\right|\\ \begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 1& 1& 0\end{array}\end{array}=$$ $$=1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 3\cdot 2+\cancel{2\cdot 0\cdot 0}-2\cdot 1\cdot 2-\cancel{0\cdot 3\cdot 1}-\cancel{1\cdot 0\cdot 1}=1+6-4=3$$

Donde se usa la fórmula de Sarrus para calcular el determinante $3\times 3$.

De la misma forma deben calcularse los demás menores

$$a_{22}=\left(\begin{array}{cccc}1& \cancel{0}& 1& 0\\ \bcancel{1}& \xcancel{1}& \bcancel{0}& \bcancel{2}\\ 1& \cancel{1}& 1& 0\\ 1& \cancel{2}& 3& 1\end{array}\right)=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 3& 1\end{array}\right|=0$$ (pues existen filas repetidas)

$$a_{33}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cancel{1}& 0\\ 1& 1& \cancel{0}& 2\\ \bcancel{1}& \bcancel{1}& \xcancel{1}& \bcancel{0}\\ 1& 2& \cancel{3}& 1\end{array}\right)=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=$$ $$=1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 2\cdot 0+1\cdot 0\cdot 2-0\cdot 1\cdot 1-2\cdot 2\cdot 1-1\cdot 0\cdot 1=-3$$

$$a_{44}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& \cancel{0}\\ 1& 1& 0& \cancel{2}\\ 1& 1& 1& \cancel{0}\\ \bcancel{1}& \bcancel{2}& \bcancel{3}& \xcancel{1}\end{array}\right)=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=$$ $$=1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 0\cdot 0-1\cdot 1\cdot 1-0\cdot 1\cdot 1-1\cdot 0\cdot 1=1$$

Solución:

$a_{11}=3,a_{22}=0,a_{33}=-3,a_{44}=1$

Ocultar desarrollo y solución

Desarrollo:

Se pide encontrar $adj(A)$. El primer paso es calcular todos los menores complementarios

$$a_{11}=\left|\begin{array}{ccc}\xcancel{1}& \cancel{0}& \cancel{2}\\ \bcancel{0}& 3& 1\\ \bcancel{3}& 1& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-1$$

$$a_{12}=\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& 0\end{array}\right|=-3$$

$$a_{13}=\left|\begin{array}{cc}0& 3\\ 3& 1\end{array}\right|=-9$$

$$a_{21}=\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 0\end{array}\right|=-2$$

$$a_{22}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right|=-6$$

$$a_{23}=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right|=1$$

$$a_{31}=\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ 3& 1\end{array}\right|=-6$$

$$a_{32}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|=1$$

$$a_{33}=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right|=3$$

Para calcular la matriz adjunta debemos tener en cuenta los signos!

$$\left(\begin{array}{ccc}+& -& +\\ -& +& -\\ +& -& +\end{array}\right)$$ Y finalmente, pues, $$adj(A)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& -9\\ 2& -6& -1\\ -6& -1& 3\end{array}\right)$$

Solución:

$adj(A)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& -9\\ 2& -6& -1\\ -6& -1& 3\end{array}\right)$

Ocultar desarrollo y solución