Exercicis de Operacions: Suma i producte de nombres reals

Desenvolupament:

a) Per al nombre $$\dfrac{1}{3}$$ les aproximacions són:

$$0,3$$

$$0,33$$

$$0,333$$

$$0,3333$$

$$\ldots$$

Per al nombre $$\pi$$ les aproximacions són:

$$3,1$$

$$3,14$$

$$3,141$$

$$3,1415$$

$$\ldots$$

Per a la suma de $$\dfrac{1}{3}$$ i $$\pi$$ les aproximacions són:

$$0,3+3,1=3,4$$

$$0,33+3,14=3,47$$

$$0,333+3,141=3,474$$

$$0,3333+3,1415=3,4748$$

$$\ldots$$

Per a la resta de $$\dfrac{1}{3}$$ i $$\pi$$ les aproximacions són:

$$0,3-3,1=-2,8$$

$$0,33-3,14=-2,81$$

$$0,333-3,141=-2,808$$

$$0,3333-3,1415=-2,8082$$

$$\ldots$$

Per a la multiplicació de $$\dfrac{1}{3}$$ i $$\pi$$ les aproximacions són:

$$0,3 \cdot 3,1=0,93$$

$$0,33 \cdot 3,14=1,0362$$

$$0,333 \cdot 3,141=1,045953$$

$$0,3333 \cdot 3,1415=1,04706195$$

$$\ldots$$

Per a la divisió de $$\dfrac{1}{3}$$ i $$\pi$$ les aproximacions són:

$$0,3 / 3,1=0,096774$$

$$0,33 / 3,14=0,105095$$

$$0,333 / 3,141=0,106017$$

$$0,3333 / 3,1415=0,106095$$

$$\ldots$$

b) Per al nombre $$\dfrac{1}{7}$$ les aproximacions són:

$$0,1$$

$$0,14$$

$$0,142$$

$$0,1428$$

$$\ldots$$

Per al nombre $$\sqrt{2}$$ les aproximacions són:

$$1,4$$

$$1,41$$

$$1,414$$

$$1,4142$$

$$\ldots$$

Per a la suma de $$\dfrac{1}{7}$$ i $$\sqrt{2}$$ les aproximacions són:

$$0,1+1,4=1,5$$

$$0,14+1,41=1,55$$

$$0,142+1,414=1,556$$

$$0,1428+1,4142=1,5570$$

$$\ldots$$

Per a la resta de $$\dfrac{1}{7}$$ i $$\sqrt{2}$$ les aproximacions són:

$$0,1-1,4=-1,3$$

$$0,14-1,41=-1,27$$

$$0,142-1,414=-1,272$$

$$0,1428-1,4142=-1,2714$$

$$\ldots$$

Per a la multiplicació de $$\dfrac{1}{7}$$ i $$\sqrt{2}$$ les aproximacions són:

$$0,1 \cdot 1,4=0,14$$

$$0,14 \cdot 1,41=0,1974$$

$$0,142 \cdot 1,414=0,20022$$

$$0,1428 \cdot 1,4142=0,20194776$$

$$\ldots$$

Per a la divisió de $$\dfrac{1}{7}$$ i $$\sqrt{2}$$ les aproximacions són:

$$0,1 / 1,4=0,0714285$$

$$0,14 / 1,41=0,0992907$$

$$0,142 / 1,414=0,1004243$$

$$0,1428 / 1,4142=0,1009758$$

$$\ldots$$

Solució:

a) Suma de $$\dfrac{1}{3}$$ i $$\pi$$: $$3,4748$$

Resta de $$\dfrac{1}{3}$$ i $$\pi$$: $$-2,8082$$

Multiplicació de $$\dfrac{1}{3}$$ i $$\pi$$: $$1,04706195$$

Divisió de $$\dfrac{1}{3}$$ i $$\pi$$: $$0,106095$$

b) Suma de $$\dfrac{1}{7}$$ i $$\sqrt{2}$$: $$1,5570$$

Resta de $$\dfrac{1}{7}$$ i $$\sqrt{2}$$: $$-1,2714$$

Multiplicació de $$\dfrac{1}{7}$$ i $$\sqrt{2}$$: $$0,20194776$$

Divisió de $$\dfrac{1}{7}$$ i $$\sqrt{2}$$: $$0,1009758$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

1. Dibuixem sobre la recta els nombres $$\sqrt{2}$$ i $$\sqrt{3}$$ usant la construcció de triangles rectangles.

A continuació traslladem el segment $$\overline{0\sqrt{3}}$$ a partir del punt $$\sqrt{2}$$, i el punt que obtenim correspon a $$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$.

1. Dibuixem sobre la recta els nombres $$\sqrt{2}$$ i $$\sqrt{3}$$. A continuació traslladem el segment $$\overline{0\sqrt{3}}$$ a partir del punt $$\sqrt{2}$$, però a diferència d'abans, cap a l'esquerra, i el punt que obtenim correspon a $$\sqrt{2}-\sqrt{3}$$.

2. Dibuixem sobre la recta els nombres $$\sqrt{2}$$ i $$\sqrt{3}$$, i aquesta vegada traslladem cap a l'esquerra el segment $$\overline{0\sqrt{2}}$$ a partir del punt $$\sqrt{3}$$, i el punt que obtenim correspon a $$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$.

3. Dibuixem sobre la recta els nombres $$\sqrt{2}$$, $$\sqrt{3}$$ i la unitat.

A continuació traslladem el segment $$\overline{0\sqrt{3}}$$ a partir de zero sobre una recta auxiliar, trobant així el punt $$P$$ .

Tracem una recta que uneixi el punt $$P$$ i el punt unitat, i a continuació construïm la seva paral·lela que passi pel punt $$\sqrt{2}$$, obtenint així un punt $$P'$$ que en traslladar sobre la recta real ens dóna el punt $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}$$.

1. Primer buscarem sobre la recta el punt $$(\sqrt{3})^{-1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$$. Per fer-ho, ens marquem sobre la recta els punts $$\sqrt{3}, 1$$ i $$0$$.

A continuació marquem sobre una recta auxiliar un punt $$P$$ traslladant el segment $$\overline{01}$$. Tracem la recta que uneix el punt $$P$$ amb el punt $$\sqrt{3}$$, i construïm una paral·lela a aquesta que passi pel punt $$1$$, marcant d'aquesta manera el punt $$P'$$ sobre la recta auxiliar. Un cop fet això, només ens queda traslladar el punt $$P'$$ sobre la recta real, obtenint així el punt $$(\sqrt{3})^{-1}$$.

Posem sobre aquesta mateixa recta al punt $$\sqrt{2}$$ per procedir a realitzar el producte entre $$\sqrt{2}$$ i $$(\sqrt{3})^{-1}$$.

A continuació traslladem el segment $$\overline{0(\sqrt{3})^{-1}}$$ a partir de zero sobre una recta auxiliar, trobant així el punt $$P$$.

Tracem una recta que uneixi el punt $$P$$ i el punt unitat, i a continuació construïm la seva paral.lela que passi pel punt $$\sqrt{2}$$, obtenint així un punt $$P'$$ que en traslladar-sobre la recta real ens dóna el punt $$\sqrt{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}= \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.$$

Solució:

1, 2 i 3. Dibuixem sobre la recta els nombres $$\sqrt{2}$$ i $$\sqrt{3}$$. Seguint els procediments establerts dibuixem els números corresponents.

1. Dibuixem sobre la recta els nombres $$\sqrt{2}$$ i $$\sqrt{3}$$. Usant el teorema de Tales podem construir el nombre $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}$$.

2. Dibuixem sobre la recta els nombres $$\sqrt{2}$$ i $$\sqrt{3}$$. Podem llavors construir el nombre $$(\sqrt{3})^{-1}$$.

Utilitzant el mètode per multiplicar nombres construïm el nombre $$\sqrt{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}= \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.$$

Amagar desenvolupament i solució