Exercicis de Operacions: Suma i producte de nombres reals

Desenvolupament:

a) Per al nombre ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ les aproximacions són:

$0,3$

$0,33$

$0,333$

$0,3333$

$\dots$

Per al nombre $\pi$ les aproximacions són:

$3,1$

$3,14$

$3,141$

$3,1415$

$\dots$

Per a la suma de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ i $\pi$ les aproximacions són:

$0,3+3,1=3,4$

$0,33+3,14=3,47$

$0,333+3,141=3,474$

$0,3333+3,1415=3,4748$

$\dots$

Per a la resta de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ i $\pi$ les aproximacions són:

$0,3-3,1=-2,8$

$0,33-3,14=-2,81$

$0,333-3,141=-2,808$

$0,3333-3,1415=-2,8082$

$\dots$

Per a la multiplicació de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ i $\pi$ les aproximacions són:

$0,3\cdot 3,1=0,93$

$0,33\cdot 3,14=1,0362$

$0,333\cdot 3,141=1,045953$

$0,3333\cdot 3,1415=1,04706195$

$\dots$

Per a la divisió de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ i $\pi$ les aproximacions són:

$0,3/3,1=0,096774$

$0,33/3,14=0,105095$

$0,333/3,141=0,106017$

$0,3333/3,1415=0,106095$

$\dots$

b) Per al nombre ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ les aproximacions són:

$0,1$

$0,14$

$0,142$

$0,1428$

$\dots$

Per al nombre $\sqrt{2}$ les aproximacions són:

$1,4$

$1,41$

$1,414$

$1,4142$

$\dots$

Per a la suma de ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ i $\sqrt{2}$ les aproximacions són:

$0,1+1,4=1,5$

$0,14+1,41=1,55$

$0,142+1,414=1,556$

$0,1428+1,4142=1,5570$

$\dots$

Per a la resta de ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ i $\sqrt{2}$ les aproximacions són:

$0,1-1,4=-1,3$

$0,14-1,41=-1,27$

$0,142-1,414=-1,272$

$0,1428-1,4142=-1,2714$

$\dots$

Per a la multiplicació de ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ i $\sqrt{2}$ les aproximacions són:

$0,1\cdot 1,4=0,14$

$0,14\cdot 1,41=0,1974$

$0,142\cdot 1,414=0,20022$

$0,1428\cdot 1,4142=0,20194776$

$\dots$

Per a la divisió de ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ i $\sqrt{2}$ les aproximacions són:

$0,1/1,4=0,0714285$

$0,14/1,41=0,0992907$

$0,142/1,414=0,1004243$

$0,1428/1,4142=0,1009758$

$\dots$

Solució:

a) Suma de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ i $\pi$: $3,4748$

Resta de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ i $\pi$: $-2,8082$

Multiplicació de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ i $\pi$: $1,04706195$

Divisió de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ i $\pi$: $0,106095$

b) Suma de ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ i $\sqrt{2}$: $1,5570$

Resta de ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ i $\sqrt{2}$: $-1,2714$

Multiplicació de ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ i $\sqrt{2}$: $0,20194776$

Divisió de ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ i $\sqrt{2}$: $0,1009758$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

1. Dibuixem sobre la recta els nombres $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$ usant la construcció de triangles rectangles.

A continuació traslladem el segment $\overline{0\sqrt{3}}$ a partir del punt $\sqrt{2}$, i el punt que obtenim correspon a $\sqrt{2}+\sqrt{3}$.

1. Dibuixem sobre la recta els nombres $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$. A continuació traslladem el segment $\overline{0\sqrt{3}}$ a partir del punt $\sqrt{2}$, però a diferència d'abans, cap a l'esquerra, i el punt que obtenim correspon a $\sqrt{2}-\sqrt{3}$.

2. Dibuixem sobre la recta els nombres $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$, i aquesta vegada traslladem cap a l'esquerra el segment $\overline{0\sqrt{2}}$ a partir del punt $\sqrt{3}$, i el punt que obtenim correspon a $\sqrt{3}-\sqrt{2}$.

3. Dibuixem sobre la recta els nombres $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ i la unitat.

A continuació traslladem el segment $\overline{0\sqrt{3}}$ a partir de zero sobre una recta auxiliar, trobant així el punt $P$ .

Tracem una recta que uneixi el punt $P$ i el punt unitat, i a continuació construïm la seva paral·lela que passi pel punt $\sqrt{2}$, obtenint així un punt $P^{\prime }$ que en traslladar sobre la recta real ens dóna el punt $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$.

1. Primer buscarem sobre la recta el punt $(\sqrt{3}{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$. Per fer-ho, ens marquem sobre la recta els punts $\sqrt{3},1$ i $0$.

A continuació marquem sobre una recta auxiliar un punt $P$ traslladant el segment $\overline{01}$. Tracem la recta que uneix el punt $P$ amb el punt $\sqrt{3}$, i construïm una paral·lela a aquesta que passi pel punt $1$, marcant d'aquesta manera el punt $P^{\prime }$ sobre la recta auxiliar. Un cop fet això, només ens queda traslladar el punt $P^{\prime }$ sobre la recta real, obtenint així el punt $(\sqrt{3}{)}^{-1}$.

Posem sobre aquesta mateixa recta al punt $\sqrt{2}$ per procedir a realitzar el producte entre $\sqrt{2}$ i $(\sqrt{3}{)}^{-1}$.

A continuació traslladem el segment $\overline{0(\sqrt{3}{)}^{-1}}$ a partir de zero sobre una recta auxiliar, trobant així el punt $P$.

Tracem una recta que uneixi el punt $P$ i el punt unitat, i a continuació construïm la seva paral.lela que passi pel punt $\sqrt{2}$, obtenint així un punt $P^{\prime }$ que en traslladar-sobre la recta real ens dóna el punt $\sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}.$

Solució:

1, 2 i 3. Dibuixem sobre la recta els nombres $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$. Seguint els procediments establerts dibuixem els números corresponents.

1. Dibuixem sobre la recta els nombres $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$. Usant el teorema de Tales podem construir el nombre $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$.

2. Dibuixem sobre la recta els nombres $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$. Podem llavors construir el nombre $(\sqrt{3}{)}^{-1}$.

Utilitzant el mètode per multiplicar nombres construïm el nombre $\sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}.$

Amagar desenvolupament i solució