Operacions: Suma i producte de nombres reals

Les operacions definides pels nombres racionals es poden estendre pels nombres reals.

Per presentar les operacions entre nombres reals necessitem alguns conceptes previs.

Un nombre irracional ve donat per una seqüència de dígits. Aquests dígits defineixen aproximacions successives del nombre. Vegem algun exemple:

Per calcular l'operació entre dos nombres reals utilitzem les aproximacions successives. Operant les dues aproximacions obtenim els dígits del resultat. Vegem alguns exemples:

Suma de nombres reals

Donats dos nombres reals qualssevol $a$ i $b$ denotem amb $a+b$ la seva suma.

El punt que correspon al nombre $a+b$ s'obté traslladant la longitud del segment $\overline{0b}$ a partir del punt corresponent a $a$, cap a la dreta si $b$ és positiu, i cap a l'esquerra si $b$ és negatiu.

Propietats de la suma:

1. Propietat associativa de la suma: donats tres nombres reals qualssevol $a,b$ i $c$, es compleix: $$a+(b+c)=(a+b)+c$$

2. Propietat commutativa: per a tot parell de nombres reals $a$ i $b$ es compleix: $$a+b=b+a$$

3. Element neutre: existeix un nombre real, el $0$, que sumat a qualsevol altre nombre real $a$, dóna $a$ com a resultat: $$a+0=a$$

4. Element oposat: per a tot nombre real $a$ existeix un altre nombre real, que denotem $-a$, que al sumar-los ens donen el neutre $0$ com a resultat. Anomenarem $-a$ a l'element oposat de $a$.

Totes aquestes propietats, es resumeixen dient que el conjunt $\mathbb{R}$ és un grup commutatiu o grup abelià amb l'operació $+$.

Observem que restar un nombre real a un altre, consisteix a sumar el seu oposat: $a-b=a+(-b).$

Producte de nombres reals

Si $a$ i $b$ són dos nombres reals, designem el seu producte amb $a\cdot b$.

Podem construir gràficament el producte entre dos nombres $a$ i $b$ aplicant el teorema de Tales.

Comencem posant sobre la recta real els nombres $a$ i $b$ , així com la unitat.

Tracem una recta auxiliar que passi pel punt $0$, i situem-hi, a partir de $0$ la longitud $\overline{0b}$, obtenint així un punt $P$.

Unim ara els punts $P$ i $1$ amb una recta, i tracem la paral·lela a aquesta que passa pel punt $a$. Aquesta paral·lela talla la recta auxiliar en un punt $P^{\prime }$.

La longitud del segment $\overline{0P^{\prime }}$ és exactament $a\cdot b$.

Efectivament, usant el teorema de Tales tenim que:

${\displaystyle \frac{\overline{01}}{\overline{0a}}}={\displaystyle \frac{\overline{0P}}{\overline{0P^{\prime }}}}\Rightarrow \overline{01}\cdot \overline{0P^{\prime }}=\overline{0a}\cdot \overline{0P}$

Però al tenir que, $\overline{0a}=a,\overline{0P}=b$ i $\overline{01}=1$, llavors:

$\overline{01}\cdot \overline{0P^{\prime }}=\overline{0a}\cdot \overline{0P}\Rightarrow 1\cdot \overline{0P^{\prime }}=a\cdot b\Rightarrow \overline{0P^{\prime }}=a\cdot b$

Així que traslladant la longitud $\overline{0P^{\prime }}$ sobre la recta a partir de $0$ obtindrem el punt corresponent al número $a\cdot b$.

Propietats de la multiplicació:

1. Propietat associativa: donats tres nombres reals qualssevol $a,b$ i $c$, es compleix: $$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$$ és a dir, en multiplicar tres nombres reals diferents, no importa per quin comencem: si es multipliquen els dos primers i al resultat li multipliquem el tercer, dóna el mateix resultat que si primer multipliquem els dos últims, i al resultat li multipliquem el primer .

2. Propietat commutativa: per a tot parell de nombres reals $a$ i $b$ es compleix: $$a\cdot b=b\cdot a$$ és a dir, l'ordre dels factors no altera el producte.

3. Element unitat: existeix un nombre real, l'$1$, que multiplicat per qualsevol altre nombre real $a$, dóna $a$ com a resultat: $$1\cdot a=a$$

4. Element invers: per a tot nombre real $a$ existeix un altre nombre real, que denotem $a^{-1}$, o bé ${\displaystyle \frac{1}{a}}$, que al multiplicar-los donen la unitat $1$ com a resultat.

Observem que totes aquestes propietats també ens defineixen el conjunt de nombres reals com un grup abelià amb l'operació $\cdot$.

Per construir gràficament l'invers de $a$ situem sobre la recta real els nombres $a,1$ i $0$.

Tracem una recta auxiliar per $0$, i situem en ella, desde $0$, un segment de longitud $1$.

Sigui $P$ l'extrem d'aquest segment.

Unim $P$ amb $a$ i tracem una paral.lela a $\overline{aP}$ que passi per $1$, trobant així un punt $P^{\prime }$.

El segment $\overline{0P^{\prime }}$ té longitud $a^{-1}$. Efectivament, usant el teorema de Tales tenim que:

${\displaystyle \frac{\overline{01}}{\overline{0a}}}={\displaystyle \frac{\overline{0P^{\prime }}}{\overline{0P}}}$

Però tenim que $\overline{0P}=\overline{01}=1$ i $\overline{0a}=a$, de manera que obtenim:

${\displaystyle \frac{\overline{0P^{\prime }}}{1}}={\displaystyle \frac{1}{a}}\Rightarrow \overline{0P^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{a}}=a^{-1}$

Així que per trobar el punt $a^{-1}$ hem de traslladar el segment $\overline{0P^{\prime }}$ sobre la recta real.

A més a més, també tenim que dividir un nombre real entre un altre, consisteis en multiplicar per l'invers:

${\displaystyle \frac{a}{b}}=a\cdot {\displaystyle \frac{1}{b}}=a\cdot b^{-1}$

Existeix també una última propietat que relaciona la suma i el producte de nombres reals:

• Propietat distributiva del producte respecte de la suma: donats tres nombres reals qualssevol $a,b$ i $c$, es compleix que: $$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$ Aquesta propietat, juntament amb totes les de la suma i totes les del producte defineixen als nombres reals com una estructura que anomenem cos commutatiu amb unitat.