Donat un nombre real $$a$$ definim el valor absolut de $$a$$, i el denotem per $$|a|$$, com el més gran entre els números $$a$$ i $$-a$$: $$$|a|=max(a,-a)$$$
$$|\sqrt{2}|=max(\sqrt{2},-\sqrt{2})=\sqrt{2}$$
$$|-\sqrt{2}|=max(-\sqrt{2},-(-\sqrt{2}))=max(-\sqrt{2},\sqrt{2})=\sqrt{2}$$
Com podem observar en l'exemple, el valor absolut d'un nombre positiu és el mateix, mentre que el valor absolut d'un nombre negatiu és el seu oposat, és a dir, escriure'l en positiu: $$$|a|= \left\{ \begin{array}{c} a, \ \ \mbox{si} \ a \geq 0 \\ -a, \ \ \mbox{si} \ a < 0 \end{array} \right.$$$
Propietats del valor absolut
Per a tot parell de nombres reals $$a$$ i $$b$$, es compleix que:
- $$|a| > 0$$ si $$a\neq 0$$, i $$|0|=0$$.
- $$|a|=|-a|.$$
- Desigualtat triangular: $$|a+b|\leq |a|+|b|.$$
- $$|a\cdot b|= |a|\cdot |b|.$$
I si $$a$$ és un nombre real qualsevol i $$r$$ és un nombre real positiu, la desigualtat $$$|a| < r$$$ equival a la cadena de desigualtats $$$-r < a < r.$$$