Dado un número real $$a$$ definimos el valor absoluto de $$a$$, y lo denotamos por $$|a|$$, como el más grande entre los números $$a$$ y $$-a$$: $$$|a|=max(a,-a)$$$
$$|\sqrt{2}|=max(\sqrt{2},-\sqrt{2})=\sqrt{2}$$
$$|-\sqrt{2}|=max(-\sqrt{2},-(-\sqrt{2}))=max(-\sqrt{2},\sqrt{2})=\sqrt{2}$$
Como podemos observar en el ejemplo, el valor absoluto de un número positivo es el mismo, mientras que el valor absoluto de un número negativo es su opuesto, es decir, escribirlo en positivo: $$$|a|= \left\{ \begin{array}{c} a, \ \ \mbox{si} \ a \geq 0 \\ -a, \ \ \mbox{si} \ a < 0 \end{array} \right.$$$
Propiedades del valor absoluto
Para todo par de números reales $$a$$ y $$b$$, se cumple que:
- $$|a| > 0$$ si $$a\neq 0$$, y $$|0|=0$$.
- $$|a|=|-a|.$$
- Desigualdad triangular: $$|a+b|\leq |a|+|b|.$$
- $$|a\cdot b|= |a|\cdot |b|.$$
Y si $$a$$ es un número real cualquiera y $$r$$ es un número real positivo, la desigualdad $$$|a| < r$$$ equivale a la cadena de desigualdades $$$-r < a < r.$$$