Operaciones: Suma y producto de números reales

Las operaciones definidas para números racionales pueden extenderse para números reales.

Para presentar las operaciones entre números reales necesitamos algunos conceptos previos.

Un número irracional viene dado por una secuencia de dígitos. Estos dígitos definen aproximaciones sucesivas del número. Veamos algún ejemplo:

Para calcular la operación entre dos números reales utilizamos las aproximaciones sucesivas. Operando las dos aproximaciones obtenemos los dígitos del resultado.

Suma de números reales

Dados dos números reales cualesquiera $a$ y $b$ denotamos con $a+b$ a su suma.

El punto que corresponde al número $a+b$ se obtiene trasladando la longitud del segmento $\overline{0b}$ a partir del punto correspondiente a $a$, hacia la derecha si $b$ es positivo, y hacia la izquierda si $b$ es negativo.

Propiedades de la suma

1. Propiedad asociativa: dados tres números reales cualesquiera $a,b$ y $c$, se cumple: $$a+(b+c)=(a+b)+c$$ es decir, al sumar tres números reales distintos, no importa por cuales se empieza: si se suman los dos primeros y al resultado le sumamos el tercero, da el mismo resultado que si primero sumamos los dos últimos, y al resultado le sumamos el primero.

2. Propiedad conmutativa: Para todo par de números reales $a$ y $b$ se cumple: $$a+b=b+a$$ es decir, el orden de los sumandos no altera el resultado.

3. Elemento neutro: existe un número real, el $0$, que sumado a cualquier otro número real $a$, da $a$ como resultado: $$a+0=a$$

4. Elemento opuesto: para todo número real $a$ existe otro número real, que denotamos $-a$, que al sumarlos nos dan el neutro $0$ como resultado. Llamamos $-a$ al elemento opuesto de $a$. Gráficamente es el punto simétrico de $a$ respecto al $0$.

Todas estas propiedades, se resumen diciendo que el conjunto $\mathbb{R}$ es un grupo conmutativo o grupo abeliano con la operación $+$.

Observemos que restar un número real a otro, consiste en sumar su opuesto: $a-b=a+(-b).$

Producto de números reales

Si $a$ y $b$ son dos números reales, designamos su producto con $a\cdot b$.

Podemos construir gráficamente el producto entre dos números $a$ y $b$ aplicando el teorema de Tales.

Empezamos colocando sobre la recta real los números $a$ y $b$ , así como la unidad.

Trazamos una recta auxiliar que pase por el punto $0$, y situamos en ella, a partir de $0$ la longitud $\overline{0b}$, obteniendo así un punto $P$.

Unimos ahora los puntos $P$ y $1$ con una recta, y trazamos la paralela a esta que pasa por el punto $a$. Dicha paralela corta la recta auxiliar en un punto $P^{\prime }$.

La longitud del segmento $\overline{0P^{\prime }}$ es exactamente $a\cdot b$.

Efectivamente, usando el teorema de Tales tenemos que:

${\displaystyle \frac{\overline{01}}{\overline{0a}}}={\displaystyle \frac{\overline{0P}}{\overline{0P^{\prime }}}}\Rightarrow \overline{01}\cdot \overline{0P^{\prime }}=\overline{0a}\cdot \overline{0P}$

Pero al tener que, $\overline{0a}=a,\overline{0P}=b$ y $\overline{01}=1$, entonces:

$\overline{01}\cdot \overline{0P^{\prime }}=\overline{0a}\cdot \overline{0P}\Rightarrow 1\cdot \overline{0P^{\prime }}=a\cdot b\Rightarrow \overline{0P^{\prime }}=a\cdot b$

Así que trasladando la longitud $\overline{0P^{\prime }}$ sobre la recta a partir de $0$ obtendremos el punto correspondiente al número $a\cdot b$.

Propiedades del producto:

1. Propiedad asociativa: dados tres números reales cualesquiera $a,b$ y $c$, se cumple: $$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$$ es decir, al multiplicar tres números reales distintos, no importa por cuales se empieza: si se multiplican los dos primeros y al resultado le multiplicamos el tercero, da el mismo resultado que si primero multiplicamos los dos últimos, y al resultado le multiplicamos el primero.

2. Propiedad conmutativa: Para todo par de números reales $a$ y $b$ se cumple: $$a\cdot b=b\cdot a$$ es decir, el orden de los factores no altera el producto.

3. Elemento unidad: existe un número real, el $1$, que multiplicarlo a cualquier otro número real $a$, da $a$ como resultado: $$1\cdot a=a$$

4. Elemento inverso: para todo número real $a$ existe otro número real, que denotamos $a^{-1}$, o bien ${\displaystyle \frac{1}{a}}$, que al multiplicarlos nos dan la unidad $1$ como resultado. Llamamos a $a^{-1}$ elemento inverso de $a$.

Observamos que todas estas propiedades también definen el conjunto de números reales como un grupo abeliano con la operación $\cdot$.

Para construir gráficamente el inverso de $a$ situamos sobre la recta real los números $a,1$ y $0$.

Trazamos una recta auxiliar por $0$, y situamos en ella, desde $0$, un segmento de longitud $1$.

Sea $P$ el extremo de dicho segmento.

Unimos $P$ con $a$ y trazamos una paralela a $\overline{aP}$ que pase por $1$, encontrando así un punto $P^{\prime }$.

El segmento $\overline{0P^{\prime }}$ tiene longitud $a^{-1}$.

Efectivamente, usando el teorema de Tales tenemos que:

${\displaystyle \frac{\overline{01}}{\overline{0a}}}={\displaystyle \frac{\overline{0P^{\prime }}}{\overline{0P}}}$

Pero tenemos que $\overline{0P}=\overline{01}=1$ y $\overline{0a}=a$, con lo que obtenemos que:

${\displaystyle \frac{\overline{0P^{\prime }}}{1}}={\displaystyle \frac{1}{a}}\Rightarrow \overline{0P^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{a}}=a^{-1}$

Así que para encontrar el punto $a^{-1}$ debemos trasladar el segmento $\overline{0P^{\prime }}$ sobre la recta real.

Además, también se da que dividir un número real a otro, consiste en multiplicar su inverso:

${\displaystyle \frac{a}{b}}=a\cdot {\displaystyle \frac{1}{b}}=a\cdot b^{-1}$

Existe también una última propiedad que relaciona la suma y el producto de números reales:

• Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: dados tres números reales cualesquiera $a,b$ y $c$, se cumple que: $$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$ Esta propiedad, junto con todas las de la suma y todas las del producto definen a $\mathbb{R}$ como una estructura que denominamos cuerpo conmutativo con unidad.