Ordenación de los números reales

Ordenación de los números reales

En el conjunto $$\mathbb{R}$$ tenemos definida una relación de orden que denotamos $$ < $$ intuitivamente, si $$a$$ y $$b$$ son dos números reales, escribiremos $$a < b$$ si al dibujarlos sobre la recta real, el punto $$a$$ queda a la izquierda del punto $$b$$. Diremos entonces que $$a$$ es más pequeño que $$b$$.

Se suele utilizar $$a\leq b$$ para indicar que el número $$a$$ es más pequeño o igual a $$b$$. También se dice que $$\leq$$ es símbolo de desigualdad y que $$ < $$ lo es de desigualdad estricta.

Se dice que esta relación es de orden total $$\mathbb{R}$$: es decir, dados dos números reales distintos $$a$$ y $$b$$, siempre se tiene $$a < b$$ o bien $$b < a$$. O dicho de otra forma, $$a$$ y $$b$$ son siempre comparables.

Propiedades de la ordenación

Las operaciones con números reales y la ordenación de estos están relacionados por las siguientes propiedades:

• Monotonía de la suma: una desigualdad no se altera al sumar la misma cantidad en ambos miembros, es decir, si $$$a < b$$$ entonces para cualquier número real $$c$$, se cumple que: $$$a+c < b+c$$$ También vale si la desigualdad no es estricta: $$a\leq b \Rightarrow a+c \leq b+c.$$

• Monotonía del producto por un número positivo: una desigualdad no se altera si multiplicamos a los dos miembros por un mismo número positivo, es decir, si $$a < b$$ y $$c$$ es un número real positivo $$(c > 0) $$, se cumple: $$$a\cdot c < b\cdot c$$$ También vale si la desigualdad no es estricta: $$a\leq b$$ y $$c\geq 0 \Rightarrow a\cdot c \leq b\cdot c.$$

• Antimonotonía del producto por números negativos: toda desigualdad se altera si multiplicamos a los dos miembros por un mismo número negativo, es decir, si $$a < b$$ y $$c$$ es un número real negativo $$(c < 0)$$, se cumple: $$$a\cdot c > b\cdot c$$$ También vale si la desigualdad no es estricta: $$a\leq b$$ y $$c\leq 0 \Rightarrow a\cdot c \geq b\cdot c.$$