Ordenación de los números reales

Ordenación de los números reales

En el conjunto $\mathbb{R}$ tenemos definida una relación de orden que denotamos $<$ intuitivamente, si $a$ y $b$ son dos números reales, escribiremos $a<b$ si al dibujarlos sobre la recta real, el punto $a$ queda a la izquierda del punto $b$. Diremos entonces que $a$ es más pequeño que $b$.

Se suele utilizar $a\le b$ para indicar que el número $a$ es más pequeño o igual a $b$. También se dice que $\le$ es símbolo de desigualdad y que $<$ lo es de desigualdad estricta.

Se dice que esta relación es de orden total $\mathbb{R}$: es decir, dados dos números reales distintos $a$ y $b$, siempre se tiene $a<b$ o bien $b<a$. O dicho de otra forma, $a$ y $b$ son siempre comparables.

Propiedades de la ordenación

Las operaciones con números reales y la ordenación de estos están relacionados por las siguientes propiedades:

• Monotonía de la suma: una desigualdad no se altera al sumar la misma cantidad en ambos miembros, es decir, si $$a<b$$ entonces para cualquier número real $c$, se cumple que: $$a+c<b+c$$ También vale si la desigualdad no es estricta: $a\le b\Rightarrow a+c\le b+c.$

• Monotonía del producto por un número positivo: una desigualdad no se altera si multiplicamos a los dos miembros por un mismo número positivo, es decir, si $a<b$ y $c$ es un número real positivo $(c>0)$, se cumple: $$a\cdot c<b\cdot c$$ También vale si la desigualdad no es estricta: $a\le b$ y $c\ge 0\Rightarrow a\cdot c\le b\cdot c.$

• Antimonotonía del producto por números negativos: toda desigualdad se altera si multiplicamos a los dos miembros por un mismo número negativo, es decir, si $a<b$ y $c$ es un número real negativo $(c<0)$, se cumple: $$a\cdot c>b\cdot c$$ También vale si la desigualdad no es estricta: $a\le b$ y $c\le 0\Rightarrow a\cdot c\ge b\cdot c.$