Ejercicios de Ordenación de los números reales

Desarrollo:

Supongamos primero que tanto $a$ como $b$ son números positivos, es decir, $0<a<b$, entonces, multiplicamos la desigualdad $a<b$ por $a$, y obtenemos: $$a\cdot a<a\cdot b\Rightarrow a^2<a\cdot b$$

A continuación multiplicamos la desigualdad por $b$ y obtenemos: $$a\cdot b<b\cdot b\Rightarrow a\cdot b<b^2$$

Y si unimos ambas desigualdades, tenemos que: $$a^2<a\cdot b<b^2\Rightarrow a^2<b^2$$

Supongamos ahora que tanto $a$ como $b$ son números negativos, es decir, $a<b<0$, y repetimos el proceso. Al multiplicar la desigualdad por $a$, obtenemos: $$a\cdot a>a\cdot b\Rightarrow a^2>a\cdot b$$

Al multiplicarla por $b$ obtenemos: $$a\cdot b>b\cdot b\Rightarrow a\cdot b>b^2$$

Y si unimos ambos desigualdades, tenemos que: $$a^2>a\cdot b>b^2\Rightarrow a^2>b^2$$

Pero veamos a ver que sucede si uno de los números es mayor que cero y el otro menor. Es decir, si tenemos $a<0<b$. Procediendo de la misma forma, obtenemos, al multiplicar la desigualdad $a<b$ por $a$: $$a\cdot a>a\cdot b\Rightarrow a^2>a\cdot b$$

Y al multiplicar por $b$ obtenemos: $$a\cdot b<b\cdot b\Rightarrow a\cdot b<b^2$$

De tal forma que no podemos unir ambos resultados.

De hecho podemos encontrar ejemplos de todo tipo:

Si escogemos: $-{\displaystyle \frac{1}{2}}<2$, entonces, $(-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2$ y $2^2=4$ y se mantiene la desigualdad: ${\displaystyle \frac{1}{4}}<4$.

Pero si escogemos $-2<{\displaystyle \frac{1}{2}}$, entonces $(-2{)}^2=4$ y $({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$ y se invierte la desigualdad: $4>{\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Solución:

• Si $0<a<b$ entonces $a^2<b^2$.
• Si $a<b<0$ entonces $a^2>b^2$.
• Pero si $a<0<b$ entonces no podemos afirmar nada con solo esta información (hemos visto que pueden pasar ambas cosas).

Ocultar desarrollo y solución