Exercicis de Ordenació dels nombres reals

Desenvolupament:

Suposem primer que tant $a$ com $b$ són nombres positius, és a dir, $0<a<b$, llavors, multipliquem la desigualtat $a<b$ per $a$, i obtenim: $$a\cdot a<a\cdot b\Rightarrow a^2<a\cdot b$$

A continuació multipliquem la desigualtat per $b$ i obtenim: $$a\cdot b<b\cdot b\Rightarrow a\cdot b<b^2$$

I si unim tots dos desigualtats, tenim que: $$a^2<a\cdot b<b^2\Rightarrow a^2<b^2$$

Suposem ara que tant $a$ com $b$ són nombres negatius, és a dir $a<b<0$, i repetim el procés. En multiplicar la desigualtat per $a$, obtenim: $$a\cdot a>a\cdot b\Rightarrow a^2>a\cdot b$$

En multiplicar per $b$ obtenim: $$a\cdot b>b\cdot b\Rightarrow a\cdot b>b^2$$

I si unim tots dos desigualtats, tenim que: $$a^2>a\cdot b>b^2\Rightarrow a^2>b^2$$

Però vegem a veure que passa si un dels nombres és més gran que zero i l'altre menor. És a dir, si tenim $a<0<b$. Procedint de la mateixa manera, obtenim, en multiplicar la desigualtat $a<b$ per $a$: $$a\cdot a>a\cdot b\Rightarrow a^2>a\cdot b$$

I al multiplicar per $b$ obtenim: $$a\cdot b<b\cdot b\Rightarrow a\cdot b<b^2$$

De tal manera que no podem unir els dos resultats.

De fet podem trobar exemples de tot tipus:

Si escollim: $-{\displaystyle \frac{1}{2}}<2$, llavors, $(-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2$ i $2^2=4$ i es manté la desigualtat: ${\displaystyle \frac{1}{4}}<4$.

Però si escollim $-2<{\displaystyle \frac{1}{2}}$, llavors $(-2{)}^2=4$ i $({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$ i s'inverteix la desigualtat: $4>{\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Solució:

• Si $0<a<b$ llavors $a^2<b^2$.
• Si $a<b<0$ llavors $a^2>b^2$.
• Però si $a<0<b$ llavors no podem afirmar res amb només aquesta informació (hem vist que poden passar dues coses).

Amagar desenvolupament i solució