Si $$a$$ i $$b$$ són dos nombres reals tals que $$a < b$$, es pot deduir que $$a^2 < b^2$$?
Desenvolupament:
Suposem primer que tant $$a$$ com $$b$$ són nombres positius, és a dir, $$0 < a < b$$, llavors, multipliquem la desigualtat $$a < b$$ per $$a$$, i obtenim: $$$a\cdot a < a \cdot b \Rightarrow a^2 < a\cdot b $$$
A continuació multipliquem la desigualtat per $$b$$ i obtenim: $$$a\cdot b < b \cdot b \Rightarrow a\cdot b < b^2$$$
I si unim tots dos desigualtats, tenim que: $$$a^2 < a\cdot b < b^2 \Rightarrow a^2 < b^2$$$
Suposem ara que tant $$a$$ com $$b$$ són nombres negatius, és a dir $$a < b < 0$$, i repetim el procés. En multiplicar la desigualtat per $$a$$, obtenim: $$$a\cdot a > a \cdot b \Rightarrow a^2 > a\cdot b $$$
En multiplicar per $$b$$ obtenim: $$$a\cdot b > b \cdot b \Rightarrow a\cdot b > b^2$$$
I si unim tots dos desigualtats, tenim que: $$$a^2 > a\cdot b > b^2 \Rightarrow a^2 > b^2$$$
Però vegem a veure que passa si un dels nombres és més gran que zero i l'altre menor. És a dir, si tenim $$a < 0 < b$$. Procedint de la mateixa manera, obtenim, en multiplicar la desigualtat $$a < b$$ per $$a$$: $$$a\cdot a > a \cdot b \Rightarrow a^2 > a \cdot b$$$
I al multiplicar per $$b$$ obtenim: $$$a\cdot b < b \cdot b \Rightarrow a \cdot b < b^2 $$$
De tal manera que no podem unir els dos resultats.
De fet podem trobar exemples de tot tipus:
Si escollim: $$-\dfrac{1}{2} < 2$$, llavors, $$\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^2$$ i $$2^2=4$$ i es manté la desigualtat: $$\dfrac{1}{4} < 4$$.
Però si escollim $$-2 < \dfrac{1}{2}$$, llavors $$(-2)^2=4$$ i $$\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2=\dfrac{1}{4}$$ i s'inverteix la desigualtat: $$4 > \dfrac{1}{4}$$.
Solució:
- Si $$0 < a < b$$ llavors $$a^2 < b^2$$.
- Si $$a < b < 0$$ llavors $$a^2 > b^2$$.
- Però si $$a < 0 < b$$ llavors no podem afirmar res amb només aquesta informació (hem vist que poden passar dues coses).