Ordenació dels nombres reals

En el conjunt $R$ tenim definida una relació d'ordre que denotem $<$ intuïtivament, si $a$ i $b$ són dos nombres reals, escriurem $a < b$ si en dibuixar sobre la recta real, el punt $a$ queda a l'esquerra del punt $b$ . Direm llavors que $a$ és més petit que $b$ .

Es sol utilitzar $a \leq b$ per indicar que el nombre $a$ és més petit o igual que $b$ . També es diu que $\leq$ és símbol de desigualtat i que $<$ ho és de desigualtat estricta.

Es diu que aquesta relació és d'ordre total $R$ : És a dir, donats dos nombres reals diferents $a$ i $b$ , sempre es té $a < b$ o bé $b < a$ . Dit d'un altre manera, $a$ i $b$ són sempre comparables.

Exemple

Donats els números $\frac{7}{4}$ i $\frac{11}{6}$ , si calculem les seves fraccions equivalents amb denominador comú (que serà el mínim comú múltiple entre els dos denominadors), tenim: $m c m (4, 6) = m c m (2^{2}, 2 \cdot 3) = 2^{2} \cdot 3 = 12$ I per tant, ens queda: $\frac{7}{4} = \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{3} = \frac{21}{12}$ $\frac{11}{6} = \frac{11}{6} \cdot \frac{2}{2} = \frac{22}{12}$

per tant, en ser $21 < 22$ , ens queda que

$\frac{21}{12} < \frac{22}{12} \Rightarrow \frac{7}{4} < \frac{11}{6}$

Propietats de l'ordenació

Les operacions amb nombres reals i l'ordenació d'aquests estan relacionats per les següents propietats:

Monotonia de la suma: una desigualtat no s'altera en sumar la mateixa quantitat en els dos membres, és a dir, si $a < b$ llavors per a qualsevol nombre real $c$ , es compleix que: $a + c < b + c$ També val si la desigualtat no és estricta: $a \leq b \Rightarrow a + c \leq b + c .$
Monotonia del producte per un nombre positiu: una desigualtat no s'altera si multipliquem els dos membres per un mateix nombre positiu, és a dir, si $a < b$ i $c$ és un nombre real positiu $(c > 0)$ , es compleix: $a \cdot c < b \cdot c$ També val si la desigualtat no és estricta: $a \leq b$ i $c \geq 0 \Rightarrow a \cdot c \leq b \cdot c .$
Antimonotonía del producte per nombres negatius: tota desigualtat s'altera si multipliquem els dos membres per un mateix nombre negatiu, és a dir, si $a < b$ i $c$ és un nombre real negatiu $(c < 0)$ , es compleix: $a \cdot c > b \cdot c$ També val si la desigualtat no és estricta: $a \leq b$ i $c \leq 0 \Rightarrow a \cdot c \geq b \cdot c .$

Exemple

A la desigualtat $- 3 < 5$ si sumem $- 6$ en ambdós membres obtenim:

$- 3 + (- 6) = - 9$ i $5 + (- 6) = - 1$ , i es verifica que

$- 9 < - 1.$

Si multipliquem la desigualtat per $3$ , tenim:

$- 3 \cdot 3 = - 9$ i $5 \cdot 3 = 15$ , i es verifica que

$- 9 < 15$

Finalment si multipliquem la desigualtat per $- \frac{1}{2}$ , tenim:

$- 3 \cdot (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$ i $5 \cdot (- \frac{1}{2}) = - \frac{5}{2}$ , i es verifica que

$\frac{3}{2} > - \frac{5}{2}$