Ordenació dels nombres reals

En el conjunt $$\mathbb{R}$$ tenim definida una relació d'ordre que denotem $$ < $$ intuïtivament, si $$a$$ i $$b$$ són dos nombres reals, escriurem $$a < b$$ si en dibuixar sobre la recta real, el punt $$a$$ queda a l'esquerra del punt $$b$$. Direm llavors que $$a$$ és més petit que $$b$$.

Es sol utilitzar $$a\leq b$$ per indicar que el nombre $$a$$ és més petit o igual que $$b$$. També es diu que $$\leq$$ és símbol de desigualtat i que $$ < $$ ho és de desigualtat estricta.

Es diu que aquesta relació és d'ordre total $$\mathbb{R}$$: És a dir, donats dos nombres reals diferents $$a$$ i $$b$$, sempre es té $$a < b$$ o bé $$b < a$$. Dit d'un altre manera, $$a$$ i $$b$$ són sempre comparables.

Donats els números $$\dfrac{7}{4}$$ i $$\dfrac{11}{6}$$, si calculem les seves fraccions equivalents amb denominador comú (que serà el mínim comú múltiple entre els dos denominadors), tenim: $$$mcm(4,6)=mcm(2^2, 2\cdot3)=2^2\cdot3=12$$$ I per tant, ens queda: $$$\dfrac{7}{4}=\dfrac{7}{4}\cdot\dfrac{3}{3}=\dfrac{21}{12}$$$ $$$\dfrac{11}{6}=\dfrac{11}{6}\cdot\dfrac{2}{2}=\dfrac{22}{12}$$$

per tant, en ser $$21 < 22$$, ens queda que

$$$\dfrac{21}{12} < \dfrac{22}{12} \Rightarrow \dfrac{7}{4} < \dfrac{11}{6}$$$

Propietats de l'ordenació

Les operacions amb nombres reals i l'ordenació d'aquests estan relacionats per les següents propietats:

Monotonia de la suma: una desigualtat no s'altera en sumar la mateixa quantitat en els dos membres, és a dir, si $$$a < b$$$ llavors per a qualsevol nombre real $$c$$, es compleix que: $$$a+c < b+c$$$ També val si la desigualtat no és estricta: $$a\leq b \Rightarrow a+c \leq b+c.$$
Monotonia del producte per un nombre positiu: una desigualtat no s'altera si multipliquem els dos membres per un mateix nombre positiu, és a dir, si $$a < b$$ i $$c$$ és un nombre real positiu $$(c > 0) $$, es compleix: $$$a\cdot c < b\cdot c$$$ També val si la desigualtat no és estricta: $$a\leq b$$ i $$c\geq 0 \Rightarrow a\cdot c \leq b\cdot c.$$
Antimonotonía del producte per nombres negatius: tota desigualtat s'altera si multipliquem els dos membres per un mateix nombre negatiu, és a dir, si $$a < b$$ i $$c$$ és un nombre real negatiu $$(c < 0)$$, es compleix: $$$a\cdot c > b\cdot c$$$ També val si la desigualtat no és estricta: $$a\leq b$$ i $$c\leq 0 \Rightarrow a\cdot c \geq b\cdot c.$$

A la desigualtat $$$-3 < 5$$$ si sumem $$-6$$ en ambdós membres obtenim:

$$-3+(-6)=-9$$ i $$5+(-6)=-1$$, i es verifica que

$$$-9 < -1.$$$

Si multipliquem la desigualtat per $$3$$, tenim:

$$-3\cdot 3= -9$$ i $$5\cdot3=15$$, i es verifica que

$$$-9 < 15$$$

Finalment si multipliquem la desigualtat per $$-\dfrac{1}{2}$$, tenim:

$$-3\cdot \Big(-\dfrac{1}{2}\Big)= \dfrac{3}{2} $$ i $$5\cdot\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)=-\dfrac{5}{2}$$, i es verifica que

$$$\dfrac{3}{2} > -\dfrac{5}{2}$$$