Intervals

Intervals fitats

Anomenarem interval al conjunt de nombres compresos entre dos límits donats.

Si $$a$$ i $$b$$ són dos nombres reals tals que $$a\leq b$$, l'interval d'extrems $$a$$ i $$b$$ és el segment $$\overline{ab}$$, o també el conjunt de nombres compresos entre $$a$$ i $$b$$.

Si considerem que els extrems $$a$$ i $$b$$ pertanyen a l'interval, direm que és un interval tancat i el denotarem per $$[a,b]$$.

Si $$x$$ és un nombre real que pertany a $$[a,b]$$, el punt que representa sobre la recta queda a la dreta de $$a$$ i a l'esquerra de $$b$$; això vol dir que $$a < x < b$$, i com que $$a$$ i $$b$$ també són de l'interval, pot ser que $$x=a$$ o $$x=b$$, de manera que un nombre real $$x$$ pertany a l'interval tancat $$[a,b]$$ si $$a \leq x \leq b$$. Aquesta definició algebraica l'escriurem $$$[a,b]=\{x \in \mathbb{R} | a \leq x \leq b\}$$$

Si els extrems no pertanyen a l'interval, l'anomenem interval obert i el denotarem per $$(a,b)$$. Si $$x$$ és un nombre real que pertany a $$(a,b)$$, és necessàriament $$a < x < b$$, i ho escrivim en llenguatge algebraic com $$$(a,b)=\{x \in \mathbb{R} | a < x < b\}$$$

Si només un dels extrems pertany a l'interval diem que és un interval semiobert i el denotarem per $$(a,b]$$ o bé $$[a,b)$$, depenent de quin extrem pertanyi a l'interval:

$$$(a,b]=\{x \in \mathbb{R} | a < x \leq b\}$$$ $$$[a,b)=\{x \in \mathbb{R} | a \leq x < b\}$$$

En qualsevol tipus d'interval, $$a$$ és l'extrem inferior, i $$b$$ l'extrem superior. I $$|b-a|$$ és la longitud de l'interval.

Anomenarem centre de l'interval a un punt $$c$$ que es troba a mateixa distància de $$a$$ que de $$b$$. A la distància entre el centre de l'interval i els extrems es denomina radi.

El centre d'un interval d'extrems $$a$$ i $$b$$ és el punt $$\dfrac{a+b}{2}$$; en efecte:

$$$d\Big(a,\dfrac{a+b}{2}\Big)=\Big|\dfrac{a+b}{2}-a\Big|=\Big|\dfrac{a+b-2a}{2}\Big|=\dfrac{b-a}{2}$$$

$$$d\Big(\dfrac{a+b}{2},b\Big)=\Big|b-\dfrac{a+b}{2}\Big|=\Big|\dfrac{2b-a-b}{2}\Big|=\dfrac{b-a}{2}$$$

D'altra banda, els punts d'un interval d'extrems $$a$$ i $$b$$ es poden definir en termes de la distància al centre de l'interval.

Si $$x\in [a,b]$$, la distància de $$x$$ al centre és menor o igual al radi de l'interval, i com que $$d(x,C)=|C-x|$$, tenim: $$$[a,b]=\{x \in \mathbb{R} \ | \ |C-x|\leq r \}$$$ on $$r$$ representa el radi de l'interval $$(r=d(a,b))$$, i anàlogament per intervals oberts: $$$(a,b)=\{x \in \mathbb{R} \ | \ |C-x| < r \}$$$

Per determinar els extrems d'un interval donats el centre i el radi, apliquem les propietats del valor absolut:

$$$|C-x| < r \Rightarrow |x-C| < r \Rightarrow$$$ $$$-r < x-C < r \Rightarrow -r+C < x < r+C$$$

Per tant els extrems d'un interval de centre $$C$$ i radi $$r$$ són $$C-r$$ i $$C+r$$.

La longitud d'un interval és igual a la distància entre els seus dos extrems: $$$long([a,b])=d(a,b)$$$ I en dependre dels extrems, la longitud és la mateixa si l'interval és obert o tancat: $$$long((a,b))=long([a,b])=long((a,b])=long([a,b))$$$

Observem que la longitud d'un interval depèn de la distància utilitzada a calcular-la, així que, seguint amb la notació anterior, si s'utilitza una distància p-àdica per calcular la longitud d'un interval, el denotarem per: $$$long_p((a,b))=d_p(a,b)$$$

Intervals no fitats

Si considerem un interval que no tingui extrem inferior o bé, extrem superior, obtenim un conjunt de la forma: $$$\{x\in \mathbb{R} \ | \ x \leq b\}, \ \mbox{o} \ \{x\in \mathbb{R} \ | \ a \leq x\} $$$

Gràficament, aquests conjunts es representa com tots aquells que es troben a l'esquerra de $$b$$, o a la dreta de $$a$$, respectivament.

A aquests conjunts els anomenem intervals no fitats i per denotar-los utilitzem el símbol infinit $$\infty$$ com extrem. Encara que $$\infty$$ no és un nombre, utilitzarem $$-\infty$$ per denotar que és menor que qualsevol nombre i $$+\infty$$ per denotar que és més gran que qualsevol nombre, de tal manera que un interval no fitat inferiorment es denota per:

$$(-\infty,a)=\{x\in\mathbb{R} \ | \ x < a\}$$

si és obert, i si és tancat:

$$(-\infty,a]=\{x\in\mathbb{R} \ | \ x \leq a\}$$

Si l'interval no té extrem superior, l'anomenem no fitat superiorment, i s'escriu:

$$(a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R} \ | \ a < x\}$$

si és obert, i

$$[a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R} \ | \ a \leq x\}$$

si és tancat.