Intervals

Intervals fitats

Anomenarem interval al conjunt de nombres compresos entre dos límits donats.

Si $a$ i $b$ són dos nombres reals tals que $a\le b$, l'interval d'extrems $a$ i $b$ és el segment $\overline{ab}$, o també el conjunt de nombres compresos entre $a$ i $b$.

Si considerem que els extrems $a$ i $b$ pertanyen a l'interval, direm que és un interval tancat i el denotarem per $[a,b]$.

Si $x$ és un nombre real que pertany a $[a,b]$, el punt que representa sobre la recta queda a la dreta de $a$ i a l'esquerra de $b$; això vol dir que $a<x<b$, i com que $a$ i $b$ també són de l'interval, pot ser que $x=a$ o $x=b$, de manera que un nombre real $x$ pertany a l'interval tancat $[a,b]$ si $a\le x\le b$. Aquesta definició algebraica l'escriurem $$[a,b]=\{x\in \mathbb{R}|a\le x\le b\}$$

Si els extrems no pertanyen a l'interval, l'anomenem interval obert i el denotarem per $(a,b)$. Si $x$ és un nombre real que pertany a $(a,b)$, és necessàriament $a<x<b$, i ho escrivim en llenguatge algebraic com $$(a,b)=\{x\in \mathbb{R}|a<x<b\}$$

Si només un dels extrems pertany a l'interval diem que és un interval semiobert i el denotarem per $(a,b]$ o bé $[a,b)$, depenent de quin extrem pertanyi a l'interval:

$$(a,b]=\{x\in \mathbb{R}|a<x\le b\}$$ $$[a,b)=\{x\in \mathbb{R}|a\le x<b\}$$

En qualsevol tipus d'interval, $a$ és l'extrem inferior, i $b$ l'extrem superior. I $|b-a|$ és la longitud de l'interval.

Anomenarem centre de l'interval a un punt $c$ que es troba a mateixa distància de $a$ que de $b$. A la distància entre el centre de l'interval i els extrems es denomina radi.

El centre d'un interval d'extrems $a$ i $b$ és el punt ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$; en efecte:

$$d(a,{\displaystyle \frac{a+b}{2}})=|{\displaystyle \frac{a+b}{2}}-a|=|{\displaystyle \frac{a+b-2a}{2}}|={\displaystyle \frac{b-a}{2}}$$

$$d({\displaystyle \frac{a+b}{2}},b)=|b-{\displaystyle \frac{a+b}{2}}|=|{\displaystyle \frac{2b-a-b}{2}}|={\displaystyle \frac{b-a}{2}}$$

D'altra banda, els punts d'un interval d'extrems $a$ i $b$ es poden definir en termes de la distància al centre de l'interval.

Si $x\in [a,b]$, la distància de $x$ al centre és menor o igual al radi de l'interval, i com que $d(x,C)=|C-x|$, tenim: $$[a,b]=\{x\in \mathbb{R}||C-x|\le r\}$$ on $r$ representa el radi de l'interval $(r=d(a,b))$, i anàlogament per intervals oberts: $$(a,b)=\{x\in \mathbb{R}||C-x|<r\}$$

Per determinar els extrems d'un interval donats el centre i el radi, apliquem les propietats del valor absolut:

$$|C-x|<r\Rightarrow |x-C|<r\Rightarrow$$ $$-r<x-C<r\Rightarrow -r+C<x<r+C$$

Per tant els extrems d'un interval de centre $C$ i radi $r$ són $C-r$ i $C+r$.

La longitud d'un interval és igual a la distància entre els seus dos extrems: $$long([a,b])=d(a,b)$$ I en dependre dels extrems, la longitud és la mateixa si l'interval és obert o tancat: $$long((a,b))=long([a,b])=long((a,b])=long([a,b))$$

Observem que la longitud d'un interval depèn de la distància utilitzada a calcular-la, així que, seguint amb la notació anterior, si s'utilitza una distància p-àdica per calcular la longitud d'un interval, el denotarem per: $$lon{g}_p((a,b))=d_p(a,b)$$

Intervals no fitats

Si considerem un interval que no tingui extrem inferior o bé, extrem superior, obtenim un conjunt de la forma: $$\{x\in \mathbb{R}|x\le b\},\text{o}\{x\in \mathbb{R}|a\le x\}$$

Gràficament, aquests conjunts es representa com tots aquells que es troben a l'esquerra de $b$, o a la dreta de $a$, respectivament.

A aquests conjunts els anomenem intervals no fitats i per denotar-los utilitzem el símbol infinit $\mathrm{\infty }$ com extrem. Encara que $\mathrm{\infty }$ no és un nombre, utilitzarem $-\mathrm{\infty }$ per denotar que és menor que qualsevol nombre i $+\mathrm{\infty }$ per denotar que és més gran que qualsevol nombre, de tal manera que un interval no fitat inferiorment es denota per:

$(-\mathrm{\infty },a)=\{x\in \mathbb{R}|x<a\}$

si és obert, i si és tancat:

$(-\mathrm{\infty },a]=\{x\in \mathbb{R}|x\le a\}$

Si l'interval no té extrem superior, l'anomenem no fitat superiorment, i s'escriu:

$(a,+\mathrm{\infty })=\{x\in \mathbb{R}|a<x\}$

si és obert, i

$[a,+\mathrm{\infty })=\{x\in \mathbb{R}|a\le x\}$

si és tancat.