Intervalos

Intervalos acotados

Llamaremos intervalo al conjunto de números comprendido entre dos límites dados.

Si $a$ y $b$ son dos números reales tales que $a\le b$, el intervalo de extremos $a$ y $b$ es el segmento $\overline{ab}$, o también el conjunto de números comprendido entre $a$ y $b$.

Si consideramos que los extremos $a$ y $b$ pertenecen al intervalo, diremos que es un intervalo cerrado y lo denotaremos por $[a,b]$.

Si $x$ es un número real que pertenece a $[a,b]$, el punto que representa sobre la recta queda a la derecha de $a$ y a la izquierda de $b$; esto significa que $a<x<b$, y como que $a$ y $b$ también son del intervalo, puede ser que $x=a$ o $x=b$, con lo que un número real $x$ pertenece al intervalo cerrado $[a,b]$ si $a\le x\le b$. Esta definición algebraica la escribiremos así: $$[a,b]=\{x\in \mathbb{R}|a\le x\le b\}$$

Si los extremos no pertenecen al intervalo, lo llamamos intervalo abierto y lo denotaremos por $(a,b)$. Si $x$ es un número real que pertenece a $(a,b)$, es necesariamente $a<x<b$, y lo escribimos en lenguage algebraico como: $$(a,b)=\{x\in \mathbb{R}|a<x<b\}$$

Si solamente uno de los extremos pertenece al intervalo decimos que es un intervalo semiabierto y lo denotaremos por $(a,b]$ o bien $[a,b)$, dependiendo de que extremo pertenezca al intervalo:

$$(a,b]=\{x\in \mathbb{R}|a<x\le b\}$$ $$[a,b)=\{x\in \mathbb{R}|a\le x<b\}$$

En cualquier tipo de intervalo, $a$ es el extremo inferior, y $b$ el extremo superior. Y $|b-a|$ es la longitud del intervalo.

Llamaremos centro del intervalo a un punto $c$ que se encuentra a misma distancia de $a$ que de $b$. A la distancia entre el centro del intervalo y los extremos se denomina radio.

El centro de un intervalo de extremos $a$ y $b$ es el punto ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$; en efecto:

$$d(a,{\displaystyle \frac{a+b}{2}})=|{\displaystyle \frac{a+b}{2}}-a|=|{\displaystyle \frac{a+b-2a}{2}}|={\displaystyle \frac{b-a}{2}}$$

$$d({\displaystyle \frac{a+b}{2}},b)=|b-{\displaystyle \frac{a+b}{2}}|=|{\displaystyle \frac{2b-a-b}{2}}|={\displaystyle \frac{b-a}{2}}$$

Por otra parte, los puntos de un intervalo de extremos $a$ y $b$ se pueden definir en términos de la distancia al centro del intervalo.

Si $x\in [a,b]$, la distancia de $x$ al centro es menos o igual al radio del intervalo, y como que $d(x,C)=|C-x|$, tenemos que: $$[a,b]=\{x\in \mathbb{R}||C-x|\le r\}$$ donde $r$ representa el radio del intervalo $(r=d(a,b))$, y análogamente para intervalos abiertos: $$(a,b)=\{x\in \mathbb{R}||C-x|<r\}$$

Para determinar los extremos de un intervalo dados el centro y el radio, aplicamos las propiedades del valor absoluto:

$$|C-x|<r\Rightarrow |x-C|<r\Rightarrow$$ $$-r<x-C<r\Rightarrow -r+C<x<r+C$$

Por lo que los extremos de un intervalo de centro $C$ y radio $r$ son $C-r$ y $C+r$.

La longitud de un intervalo es igual a la distancia entre sus dos extremos: $$long([a,b])=d(a,b)$$ Y al depender de los extremos, la longitud es la misma si el intervalo es abierto o cerrado: $$long((a,b))=long([a,b])=long((a,b])=long([a,b))$$

Observemos que la longitud de un intervalo depende de la distancia utilizada al calcularla, así que, siguiendo con la notación anterior, si se utiliza una distancia p-ádica para calcular la longitud de un intervalo, lo denotaremos por: $$lon{g}_p((a,b))=d_p(a,b)$$

Intervalos no acotados

Si consideramos un intervalo que no tenga extremo inferior o bien, extremo superior, obtenemos un conjunto de la forma: $$\{x\in \mathbb{R}|x\le b\},\text{o}\{x\in \mathbb{R}|a\le x\}$$

Gráficamente, estos conjuntos se representa como todos aquellos que se encuentran a la izquierda de $b$, o a la derecha de $a$, respectivamente.

A estos conjuntos los llamamos intervalos no acotados y para denotarlos utilizamos el símbolo infinito $\mathrm{\infty }$ como extremo. Aunque $\mathrm{\infty }$ no es un número, utilizaremos $-\mathrm{\infty }$ para denotar que es menor que cualquier número y $+\mathrm{\infty }$ para denotar que es mayor que cualquier número, de tal forma que un intervalo no acotado inferiormente se denota por:

$(-\mathrm{\infty },a)=\{x\in \mathbb{R}|x<a\}$

si es abierto, y si es cerrado:

$(-\mathrm{\infty },a]=\{x\in \mathbb{R}|x\le a\}$

Si el intervalo no tiene extremo superior, lo llamamos no acotado superiormente, y se escribe:

$(a,+\mathrm{\infty })=\{x\in \mathbb{R}|a<x\}$

si es abierto, y

$[a,+\mathrm{\infty })=\{x\in \mathbb{R}|a\le x\}$

si es cerrado.