Exercicis de Optimització

Desenvolupament:

Al tancar un espai amb $4$ tanques de $10$ m, aquest tindrà forma de rombe. El problema pot traduir-se, matemàticament, a maximitzar l'àrea d'un rombe amb els costats fixats ($10$m).

Construeixo la funció a maximitzar. Sigui un rombe de costat $10$m a la seva diagonal llarga li diem $y$, i a la seva diagonal curta li diem $x$. La funció àrea serà: $$A(x,y)={\displaystyle \frac{x\cdot y}{2}}$$

Trobo les lligadures. En aquest cas la longitud del costat $L$ és la nostra lligadura, ja que han de ser sempre $10$m. Hem de calcular doncs $L$ en funció de les variables $x$ i $y$ i igualar-lo a $10$.

Sigui $L=10$m el costat del rombe, hem de relacionar $L$ amb $x$ i $y$. Usem el teorema de Pitàgores $$L^2=({\displaystyle \frac{x}{2}}{)}^2+({\displaystyle \frac{y}{2}}{)}^2\to {\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{x^2+y^2}=10\to y=\sqrt{{20}^2-x^2}$$

Reescrivim la funció $$A(x,y)={\displaystyle \frac{x\cdot y}{2}}\to A(x)={\displaystyle \frac{x\cdot \sqrt{{20}^2-x^2}}{2}}$$ Maximitzem. Per a això s'iguala la derivada $A^{\prime }$ a zero. $$A^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{{20}^2-x^2}+x{\displaystyle \frac{1}{2}}({20}^2-x^2{)}^{-1/2}(-2x)}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{{20}^2-x^2}-{\displaystyle \frac{2x^2}{2\sqrt{{20}^2-x^2}}}}{2}}=$$ $$={\displaystyle \frac{\sqrt{{20}^2-x^2}}{2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2\sqrt{{20}^2-x^2}}}$$

Fem el càlcul $$0=A^{\prime }={\displaystyle \frac{\sqrt{{20}^2-x^2}}{2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2\sqrt{{20}^2-x^2}}}$$ $$({20}^2-x^2)-x^2=0\Rightarrow 2x^2={20}^2\Rightarrow x=10\sqrt{2}$$

aleshores $$x=10\sqrt{2}\text{m}$$

Trobem el valor de $y$ $$y=\sqrt{{20}^2-x^2}\to y=\sqrt{{20}^2-{10}^2\cdot 2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$$

El rombe amb l'àrea més gran serà el que tingui les diagonals igual de llargues, és a dir, el jardí haurà de tindre forma quadrada. en aquest cas, l'àrea serà de $100{\text{m}}^2$.

Solució:

$A_{max}=100{\text{m}}^2$

Amagar desenvolupament i solució