Ejercicios de Optimización

Desarrollo:

Al encerrar un espacio con $4$ vallas de $10$m éste tendrá forma de rombo. El problema puede traducirse, matemáticamente, a maximizar el área de un rombo con los lados fijados ($10$m).

Construyo la función a maximizar. Sea un rombo de lado $10$m cuya diagonal 'larga' llamamos $y$, y cuya diagonal corta llamamos $x$. $$A(x,y)={\displaystyle \frac{x\cdot y}{2}}$$

Hallo las ligaduras. En este caso la longitud del lado $L$ es nuestra ligadura, pues debe ser siempre $10$m. Debemos pues calcular $L$ en función de las variables $x$ e $y$ e igualarlo a $10$.

Sea $L=10$m el lado del rombo, debemos relacionar $L$ con $x$ e $y$. Usemos el teorema de Pitágoras $$L^2=({\displaystyle \frac{x}{2}}{)}^2+({\displaystyle \frac{y}{2}}{)}^2\to {\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{x^2+y^2}=10\to y=\sqrt{{20}^2-x^2}$$

Reescribimos la función $$A(x,y)={\displaystyle \frac{x\cdot y}{2}}\to A(x)={\displaystyle \frac{x\cdot \sqrt{{20}^2-x^2}}{2}}$$ Maximizamos. Para ello se iguala la derivada $A^{\prime }$ a cero. $$A^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{{20}^2-x^2}+x{\displaystyle \frac{1}{2}}({20}^2-x^2{)}^{-1/2}(-2x)}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{{20}^2-x^2}-{\displaystyle \frac{2x^2}{2\sqrt{{20}^2-x^2}}}}{2}}=$$ $$={\displaystyle \frac{\sqrt{{20}^2-x^2}}{2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2\sqrt{{20}^2-x^2}}}$$

Hagamos pues el cálculo $$0=A^{\prime }={\displaystyle \frac{\sqrt{{20}^2-x^2}}{2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2\sqrt{{20}^2-x^2}}}$$ $$({20}^2-x^2)-x^2=0\Rightarrow 2x^2={20}^2\Rightarrow x=10\sqrt{2}$$

Se ha resuelto pues que $$x=10\sqrt{2}\text{m}$$

Encontramos ahora el valor de $y$ $$y=\sqrt{{20}^2-x^2}\to y=\sqrt{{20}^2-{10}^2\cdot 2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$$

El rombo de mayor área será el que tenga las diagonales igual de largas, es decir, el jardín deberá tener forma cuadrada. En ese caso, el área será de $100{\text{m}}^2$.

Solución:

$A_{max}=100{\text{m}}^2$

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