Se disponen de $$4$$ vallas de $$10$$m cada una con las que debemos limitar un jardín. ¿Cuantos metros cuadrados tendrá como máximo el jardín?
Desarrollo:
Al encerrar un espacio con $$4$$ vallas de $$10$$m éste tendrá forma de rombo. El problema puede traducirse, matemáticamente, a maximizar el área de un rombo con los lados fijados ($$10$$m).
Construyo la función a maximizar. Sea un rombo de lado $$10$$m cuya diagonal 'larga' llamamos $$y$$, y cuya diagonal corta llamamos $$x$$. $$$A(x,y)=\dfrac{x\cdot y}{2}$$$
Hallo las ligaduras. En este caso la longitud del lado $$L$$ es nuestra ligadura, pues debe ser siempre $$10$$m. Debemos pues calcular $$L$$ en función de las variables $$x$$ e $$y$$ e igualarlo a $$10$$.
Sea $$L=10$$m el lado del rombo, debemos relacionar $$L$$ con $$x$$ e $$y$$. Usemos el teorema de Pitágoras $$$L^2=\Big(\dfrac{x}{2}\Big)^2+\Big(\dfrac{y}{2}\Big)^2 \rightarrow \dfrac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}=10 \rightarrow y=\sqrt{20^2-x^2}$$$
Reescribimos la función $$$A(x,y)=\dfrac{x\cdot y}{2} \rightarrow A(x)=\dfrac{x\cdot \sqrt{20^2-x^2}}{2}$$$ Maximizamos. Para ello se iguala la derivada $$A'$$ a cero. $$$A'(x)=\dfrac{\sqrt{20^2-x^2}+x\dfrac{1}{2}(20^2-x^2)^{-1/2}(-2x)}{2}= \dfrac{\sqrt{20^2-x^2}-\dfrac{2x^2}{2\sqrt{20^2-x^2}}}{2}=$$$ $$$=\dfrac{\sqrt{20^2-x^2}}{2}-\dfrac{x^2}{2\sqrt{20^2-x^2}}$$$
Hagamos pues el cálculo $$$0=A'=\dfrac{\sqrt{20^2-x^2}}{2}-\dfrac{x^2}{2\sqrt{20^2-x^2}}$$$ $$$(20^2-x^2)-x^2=0 \Rightarrow 2x^2=20^2 \Rightarrow x=10\sqrt{2}$$$
Se ha resuelto pues que $$$x=10\sqrt{2} \ \mbox{m}$$$
Encontramos ahora el valor de $$y$$ $$$y=\sqrt{20^2-x^2} \rightarrow y=\sqrt{20^2-10^2\cdot 2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$$$
El rombo de mayor área será el que tenga las diagonales igual de largas, es decir, el jardín deberá tener forma cuadrada. En ese caso, el área será de $$100 \ \mbox{m}^2$$.
Solución:
$$A_{max}=100 \ \mbox{m}^2$$