Exercicis de Parametrització de corbes

Troba la parametrització de la corba coneguda com cicloide, o sigui, la trajectòria que traça un punt d'una circumferència de radi 1 em girar sobre l'eix x:

imagen

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

  1. Intentar aplicar algun mètode senzill ja conegut per parametritzar la corba: si es coneix una coordenada en funció de l'altra, o si es pot escriure de forma senzilla en algun tipus de coordenades.

    Com podem observar en el dibuix, resulta difícil expressar la corba fàcilment en algun tipus de coordenades, i tampoc coneixem y en funció de x.

  2. En cas contrari, intentar descriure l'evolució de les coordenades x i y en funció d'algun paràmetre.

    La dificultat d'aquest exercici rau en l'elecció de la variable que ens donarà l'evolució de x i y. Per això, atès que tenim una "roda" que gira i ens fixem en un punt d'aquesta, podem prendre t com l'angle (en radians) que forma el radi que va del centre del cercle al punt marcat, començant per baix (l'origen) i en sentit horari.

    D'aquesta manera, resulta senzill calcular la component y(t)=1cos(t), com podem veure en el dibuix.

    D'altra banda, la component x(t) tindrà 2 parts:

    La primera serà el desplaçament horitzontal del centre del cercle, que serà igual a la distància recorreguda per terra, i aquesta serà igual a t, ja que la longitud recorreguda és igual a la longitud de l'arc girat, que en radiants és igual a l'angle.

    La segona part és la posició horitzontal del punt respecte del centre de la circumferència, (pintada en color violeta en el dibuix) que és sin(t), però amb signe negatiu, ja que per t positius, és una distància negativa. Per tant, x(t)=tsin(t)

    imagen

Solució:

La parametrització de la corba que es coneix com cicloide és γ(t)=(1cos(t),tsin(t))

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria