Troba la parametrització de la corba coneguda com cicloide, o sigui, la trajectòria que traça un punt d'una circumferència de radi $$1$$ em girar sobre l'eix $$x$$:
Desenvolupament:
-
Intentar aplicar algun mètode senzill ja conegut per parametritzar la corba: si es coneix una coordenada en funció de l'altra, o si es pot escriure de forma senzilla en algun tipus de coordenades.
Com podem observar en el dibuix, resulta difícil expressar la corba fàcilment en algun tipus de coordenades, i tampoc coneixem $$y$$ en funció de $$x$$.
-
En cas contrari, intentar descriure l'evolució de les coordenades $$x$$ i $$y$$ en funció d'algun paràmetre.
La dificultat d'aquest exercici rau en l'elecció de la variable que ens donarà l'evolució de $$x$$ i $$y$$. Per això, atès que tenim una "roda" que gira i ens fixem en un punt d'aquesta, podem prendre $$t$$ com l'angle (en radians) que forma el radi que va del centre del cercle al punt marcat, començant per baix (l'origen) i en sentit horari.
D'aquesta manera, resulta senzill calcular la component $$y(t)=1-\cos(t)$$, com podem veure en el dibuix.
D'altra banda, la component $$x(t)$$ tindrà 2 parts:
La primera serà el desplaçament horitzontal del centre del cercle, que serà igual a la distància recorreguda per terra, i aquesta serà igual a $$t$$, ja que la longitud recorreguda és igual a la longitud de l'arc girat, que en radiants és igual a l'angle.
La segona part és la posició horitzontal del punt respecte del centre de la circumferència, (pintada en color violeta en el dibuix) que és $$\sin (t)$$, però amb signe negatiu, ja que per $$t$$ positius, és una distància negativa. Per tant, $$x(t)=t-\sin(t)$$
Solució:
La parametrització de la corba que es coneix com cicloide és $$\gamma(t)=(1-\cos(t),t-\sin(t))$$