Encontrar la parametrización de la curva conocida como cicloide, o sea, la trayectoria que traza un punto de una circunferencia de radio $$1$$ al girar ésta sobre el eje $$x$$:
Desarrollo:
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Intentar aplicar algún método sencillo ya conocido para parametrizar la curva: si se conoce una coordenada en función de la otra, o si puede escribirse de forma sencilla en algún tipo de coordenadas.
Como podemos observar en el dibujo, resulta difícil expresar la curva fácilmente en algún tipo de coordenadas, y tampoco conocemos $$y$$ en función de $$x$$.
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En caso contrario, intentar describir la evolución de las coordenadas $$x$$ y $$y$$ en función de algún parámetro.
La dificultad de este ejercicio radica en la elección de la variable que nos dará la evolución de $$x$$ y $$y$$. Para ello, dado que tenemos una "rueda" que gira y nos fijamos en un punto de ésta, podemos tomar $$t$$ como el ángulo (en radianes) que forman el radio que va del centro del círculo al punto marcado, empezando por abajo (el origen) y en sentido horario.
De esta forma, resulta sencillo calcular la componente $$y(t)=1-\cos(t)$$ , como podemos ver en el dibujo.
Por otro lado, la componente $$x(t)$$ tendrá 2 partes:
La primera será el desplazamiento horizontal del centro del círculo, que será igual a la distancia recorrida por el suelo, y ésta será igual a $$t$$, pues la longitud recorrida es igual a la longitud del arco girado, que en radianes es igual al ángulo.
La segunda parte es la posición horizontal del punto respecto del centro de la circunferencia, (pintada en color violeta en el dibujo) que es $$\sin (t)$$, pero con signo negativo, pues para $$t$$ positivos, es una distancia negativa. Por lo tanto, $$x(t)=t-\sin(t)$$
Solución:
La parametrización de la curva que se conoce como cicloide es $$\gamma(t)=(1-\cos(t),t-\sin(t))$$