Sea una curva en el espacio o en el plano. Una parametrización de es una función por o (en el plano o en el espacio), de forma que para todo del intervalo , le asigna un punto del plano (y sólo un punto) o del espacio. Esta debe ser una función continua y derivable.
Ejemplo
Una parametrización de un círculo de radio :
pues para cada punto del círculo, existe algún , tal que .
Ejemplo
Una parametrización de una elipse de semiejes y ,
Ejemplo
Una parametrización de una parábola:
En general, si tenemos una función podemos parametrizar su gráfica como .
Ejemplo
Una parametrización del segmento que une el punto del plano con el es
Ejemplo
La parametrización
es de una espiral. Para verlo con más claridad, es recomendable mirar cómo seria la gráfica si eliminamos una componente. Si, por ejemplo, quitamos la tercera componente (si vieramos la figua desde arriba), tenemos un círculo y la altura va aumentando, así que tenemos una espiral.
Ejemplo
La parametrización del segmento que une los puntos del espacio y es
Ejemplo
Una parametrización de un círculo de radio , puesto plano pero a una altura de , viene dada por la función
Dada una curva del plano o del espacio, para obtener su parametrización se puede proceder de varias formas. Algunas veces, usaremos una de las coordenadas como variable de la parametrización, como en el ejemplo 3. Si tenemos una gráfica de una función, ésta misma ya nos servirá como parametrización. Es decir:
- Sea una función continua y derivable, entonces es una parametrización de su gráfica.
Pero esto no sirve, por ejemplo, con un círculo (ejemplo 1), pues el círculo tiene, para cada , dos valores distintos de . Como mucho podemos parametrizar la mitad superior del círculo.
- Otra forma de obtener parametrizaciones de curvas, es tomando distintos sistemas de coordenadas, como por ejemplo las coordenadas esféricas (radio y 2 ángulos), o cilíndricas (radio, altura y ángulo).
