Gradiente de un campo escalar, divergencia y rotacional de un campo vectorial

Gradiente de un campo escalar

Sea $f : U \subseteq R^{3} ⟶ R$ un campo escalar, y sean $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}$ las derivadas parciales de $f$ (es decir, derivar respecto a una variable manteniendo las otras como constantes). Entonces, el gradiente de $f$ es: $g r a d (f) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$

Observemos que el gradiente de $f$ es un vector, aunque $f$ sea un campo escalar. Hay que tener en cuenta que:

El gradiente apunta en la dirección en la que la derivada direccional de la función $f$ es máxima, y su módulo en un punto es el valor de ésta derivada direccional en ese punto.
Se anula en los puntos de inflexión de la función $f$ .
El gradiente convierte un campo escalar en un campo vectorial.

Ejemplo

$f (x, y, z) = x^{2} \cdot y - z^{3} \cdot x$

$g r a d (f) = (2 \cdot x \cdot y - z^{3}, x^{2}, - 3 \cdot z^{2} \cdot x)$
$f (x, y, z) = x \cdot \sin (y) \cdot e^{5 \cdot z}$

$g r a d (f) = (\sin y \cdot e^{5 \cdot z}, x \cdot \cos y \cdot e^{5 \cdot z}, x \cdot \sin y \cdot 5 \cdot e^{5 \cdot z})$
$f (x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

$g r a d (f) = (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}, \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}, \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}})$

Divergencia de un campo vectorial

Sea $F : U \subseteq R^{3} ⟶ R^{3}, F = (F_{1}, F_{2}, F_{3})$ un campo vectorial. Entonces, la divergencia de $F$ es: $d i v (F) = \frac{\partial}{\partial x} F_{1} + \frac{\partial}{\partial y} F_{2} + \frac{\partial}{\partial z} F_{3}$

Ejemplo

$F (x, y, z) = (x^{3} \cdot y, 2 \cdot z \cdot \sin x, \cos z)$

$d i v (F) = \frac{\partial}{\partial x} (x^{3} \cdot y) + \frac{\partial}{\partial y} (2 \cdot z \cdot \sin x) + \frac{\partial}{\partial z} (\cos z) = 3 \cdot x^{2} \cdot u + 0 - \sin z$
$F (x, y, z) = (- 2 \cdot x \cdot y, y \cdot \sin z + y^{2} + z, \cos z)$

$d i v (F) = \frac{\partial}{\partial x} (- 2 \cdot x \cdot y) + \frac{\partial}{\partial y} (y \cdot \sin z + y^{2} + z) + \frac{\partial}{\partial z} (\cos z) =$

$= - 2 \cdot y + \sin z + 2 \cdot y - \sin z$

La divergencia convierte un campo vectorial en un campo escalar.

Rotacional de un campo vectorial

Sea $F : U \subseteq R^{3} ⟶ R^{3}, F = (F_{1}, F_{2}, F_{3})$ un campo vectorial. Entonces, el rotacional de $F$ es: $r o t (F) = (\frac{\partial F_{3}}{\partial y} - \frac{\partial F_{2}}{\partial z}, \frac{\partial F_{1}}{\partial z} - \frac{\partial F_{3}}{\partial x}, \frac{\partial F_{2}}{\partial x} - \frac{\partial F_{1}}{\partial y})$ o también se puede calcular como el siguiente determinante, (teniendo en cuenta que $i, j, k$ son la coordenada a la que corresponden): $| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{array} |$

Ejemplo

$F (x, y, z) = (4 \cdot x \cdot e^{y}, x \cdot \ln z, y)$ $r o t (F) = (\frac{\partial (y)}{\partial y} - \frac{\partial (x \cdot \ln z)}{\partial z}, \frac{\partial (4 \cdot x \cdot e^{y})}{\partial z} - \frac{\partial (y)}{\partial x}, \frac{\partial (x \cdot \ln z)}{\partial x} - \frac{\partial (4 \cdot x \cdot e^{y})}{\partial y})$ $= (1 - \frac{x}{z}, 0 - 0, \ln z - 4 \cdot x \cdot e^{y})$

Propiedades del gradiente, divergencia y rotacional

Si $f$ es un campo escalar y $F$ un campo vectorial, entonces siempre se cumple que

$r o t (g r a d (f)) = 0$
$d i v (r o t (F)) = 0$
$r o t (f \cdot F) = g r a d (f) \times F + f \cdot r o t (f)$
$d i v (f \cdot F) = f \cdot d i v (F) + g r a d (f) \cdot F$

donde $\cdot$ es el producto escalar y $\times$ el producto vectorial.