Parametrización de superficies

Ahora en el caso de que queremos expresar una superficie en el espacio, la daremos en forma de una función de dos variables: $φ : U = [a, b] \times [c, d] \subseteq R^{2} ⟶ S \subset R^{3}$ , de forma que a cada par de coordenadas (llamémoslas $u$ , $v$ ) les corresponde un único punto de la superficie $S$ , y viceversa.

Ejemplo

Una parametrización de una esfera de radio $R$ es $\begin{array}{ccc} φ : [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \times [0, 2 π] & ⟶ & R^{3} \\ [θ, α] & ⟶ & R \cdot (\cos θ \cdot \cos α, \cos θ \cdot \sin α, \sin θ) \end{array}$

Ejemplo

Una parametrización de un elipsoide de semiejes $a$ , $b$ y $c$ es $\begin{array}{ccc} γ : [\frac{- π}{2}, \frac{π}{2}] \times [0, 2 π] & ⟶ & R^{3} \\ [θ, α] & ⟶ & R \cdot (a \cdot \cos θ \cdot \cos α, b \cdot \cos θ \cdot \sin α, c \cdot \sin θ) \end{array}$

Ejemplo

Una parametrización de la gráfica de una función de dos variables $f (u, v)$ $\begin{array}{ccc} γ : [a, b] \times [c, d] & ⟶ & R^{3} \\ [u, v] & ⟶ & (u, v, f (u, v)) \end{array}$

Ejemplo

Una parametrización de la superficie resultante de hacer girar la gráfica de la función $f (x)$ sobre el eje de las $z$ . $\begin{array}{ccc} γ : [a, b] \times [0, 2 π] & ⟶ & R^{3} \\ [x, θ] & ⟶ & (x \cdot \cos θ, x \cdot \sin θ, f (x)) \end{array}$