Parametrització de superfícies

En el cas de que vulguem expressar una superfície en l'espai, necessitarem donar-la com una funció de dues variables: $φ : U = [a, b] \times [c, d] \subseteq R^{2} ⟶ S \subset R^{3}$ , és a dir que per cada parell de coordenades (anomenem-les $u$ , $v$ ) els correspon un únic punt de la superfície $S$ , i viceversa.

Exemple

La parametrització d'una esfera de radi $R$ és $\begin{array}{ccc} φ : [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \times [0, 2 π] & ⟶ & R^{3} \\ [θ, α] & ⟶ & R \cdot (\cos θ \cdot \cos α, \cos θ \cdot \sin α, \sin θ) \end{array}$

Exemple

La parametrització d'un el·lipsoide de semieixos $a$ , $b$ i $c$ és $\begin{array}{ccc} γ : [\frac{- π}{2}, \frac{π}{2}] \times [0, 2 π] & ⟶ & R^{3} \\ [θ, α] & ⟶ & R \cdot (a \cdot \cos θ \cdot \cos α, b \cdot \cos θ \cdot \sin α, c \cdot \sin θ) \end{array}$

Exemple

La parametrització de la gràfica d'una funció de dues variables $f (u, v)$ és $\begin{array}{ccc} γ : [a, b] \times [c, d] & ⟶ & R^{3} \\ [u, v] & ⟶ & (u, v, f (u, v)) \end{array}$

Exemple

La parametrització de la superfície que resulta de fer girar la gràfica d'una funció $f (x)$ respecte de l'eix de les $z$ és $\begin{array}{ccc} γ : [a, b] \times [0, 2 π] & ⟶ & R^{3} \\ [x, θ] & ⟶ & (x \cdot \cos θ, x \cdot \sin θ, f (x)) \end{array}$