Troba la parametrització de la superfície delimitada per la revolució de la paràbola $$z=x^2$$, per a $$z$$ entre $$1$$ i $$3$$.
Desenvolupament:
Com que és un cos de revolució, podem usar l'últim exemple de superfícies, i d'aquesta manera, $$$\varphi(x,\theta) =(x\cdot\cos\theta,x\cdot\sin\theta,x^2)$$$
Els intervals de definició seran $$\theta\in[0,2\pi]$$ i per a $$x$$, cal tenir en compte que $$x=sqrt{z}$$, pel que si $$z\in[1,3], \ x\in[\sqrt{1},\sqrt{3}]=[1,\sqrt{3}]$$.
Una altra forma de parametritzar el resultat seria prenent $$z$$ com a variable, llavors, $$$\varphi(z,\theta) =(\sqrt{z}\cdot\cos\theta,\sqrt{z}\cdot\sin\theta,z), \ \ z\in[1,3]$$$
Solució:
La parametrització buscada és $$\varphi(x,\theta) =(x\cdot\cos\theta,x\cdot\sin\theta,x^2), \ \ x\in[1,\sqrt{3}]$$ o $$\varphi(z,\theta) =(\sqrt{z}\cdot\cos\theta,\sqrt{z}\cdot\sin\theta,z), \ \ z\in[1,3]$$