Encuentra la parametrización de la superficie delimitada por la revolución de la parábola $$z=x^2$$, para $$z$$ entre $$1$$ y $$3$$.
Desarrollo:
Como es un cuerpo de revolución, podemos usar el último ejemplo de superficies, de esta forma, $$$\varphi(x,\theta) =(x\cdot\cos\theta,x\cdot\sin\theta,x^2)$$$
Los intervalos de definición serán $$\theta\in[0,2\pi]$$ y para $$x$$, hay que tener en cuenta que $$x=sqrt{z}$$, por lo que si $$z\in[1,3], \ x\in[\sqrt{1},\sqrt{3}]=[1,\sqrt{3}]$$.
Otra forma de parametrizar el resultado sería tomando $$z$$ como variable, entonces $$$\varphi(z,\theta) =(\sqrt{z}\cdot\cos\theta,\sqrt{z}\cdot\sin\theta,z), \ \ z\in[1,3]$$$
Solución:
La parametrización buscada es $$\varphi(x,\theta) =(x\cdot\cos\theta,x\cdot\sin\theta,x^2), \ \ x\in[1,\sqrt{3}]$$ o $$\varphi(z,\theta) =(\sqrt{z}\cdot\cos\theta,\sqrt{z}\cdot\sin\theta,z), \ \ z\in[1,3]$$