Políedres: definicions bàsiques i classificació

Per començar, definim els angles que estan dins dels políedres.

  • Angle díedre: És la proporció d'espai limitada per dos semiplans que s'anomenen cares.

    imagen

  • Angle políedre: És la proporció d'espai limitada per tres o més plans que concorren en un punt anomenat vèrtex. Un angle políedre ha de mesurar menys de 360.

    imagen

Un cop definits els dos angles que ens podem trobar en un políedre, a continuació donarem la definició de políedre.

Un políedre és la regió de l'espai delimitada per polígon, o el que és el mateix, un cos geomètric amb les cares planes i que tanquen un volum finit.

Els elements notables d'un políedre són els següents:

imagen

  • Cares: Cada un dels polígons que limiten el políedre.
  • Arestes: Els costats de les cares del políedre. Dues cares tenen una aresta en comú.
  • Vèrtex: Els vèrtexs de cadascuna de les cares del políedre. Tres cares coincideixen en un mateix vèrtex.
  • Angles díedres: angle format per cada dues cares que tenen una aresta en comú.
  • Angles polièdrics: Els angles formats per tres o més cares del políedre amb un vèrtex comú.
  • Diagonals: Segments que uneixen dos vèrtexs no pertanyents a la mateixa cara.

Per finalitzar, en tots els políedres es compleix l'anomenada Relació d'Euler: c+v=a+2

sent c el nombre de cares del políedre, v el nombre de vèrtexs del políedre i a el nombre d'arestes.

Classificació i famílies de políedres

Els políedres poden ser classificats en molts grups segons la família on provenen o de les característiques que els diferencien.

Segons les seves característiques, es distingeixen:

  • En un políedre convex una recta només pugui tallar a la seva superfície en dos punts.

    imagen

  • En un políedre còncau una recta pot tallar la seva superfície en més de dos punts, per la qual cosa té algun angle díedre entrant.

    imagen

  • En un políedre de cares regulars totes les cares del políedre són polígons regulars.

  • En un políedre de cares uniformes totes les cares són iguals.

    imagen

  • Es diu políedre d'arestes uniformes quan en totes les seves arestes es reuneixen el mateix parell de cares.

    imagen

  • Es diu políedre de vèrtexs uniforme quan en tots els vèrtexs del políedre convergeixen el mateix nombre de cares i en el mateix ordre.

    imagen

Aquests grups no són exclusius, és a dir, un políedre pot estar inclòs en més d'un d'ells.

A més de les classificacions anteriors, també podem classificar els poliedres mitjançant les seves famílies:

  • Políedres regulars: Són els anomenats sòlids platònics.

    imagen

  • Políedres irregulars

    • Els sòlids arquimedians són políedres convexos de cares regulars i vèrtexs uniformes però de cares no uniformes.

    imagen

    • Els prismes i els antiprisma són els únics políedres convexos i uniformes restants. Tots els prismes es construeixen amb dues cares paral·leles anomenades directrius que li donen el nom al prisma i una sèrie de paral·lelograms, tants com costats tingui la cara directriu.

    imagen

    • Els sòlids de Johnson són els políedres convexos, de cares regulars restants, només un d'ells és uniforme.

    imagen

    • Les bipiràmides i trapezòedres són políedres de cares uniformes però no són de cares regulars, ni de vèrtexs o arestes uniformes.

    imagen

    • Els sòlids de Catalan són políedres de cares no regulars i no totes les seves cares són uniformes.

    imagen

    • Es diuen deltaedres els cossos que només estan formats per triangles equilàters, no constitueixen un grup excloent de sòlids.

    imagen