Exercicis de Posició relativa de dues rectes

Donada la recta r:{2xy+z2=0x+y+2z7=0 determinar la seva posició relativa amb la recta s:(x,y,z)=(1,2,3)+k(1,2,0).

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Comencem calculant la posició relativa entre les dues rectes. Ho farem de manera geomètrica i per això necessitem un vector director de r.

Fixem-nos que l'equació implícita de la recta en realitat consta de dues equacions de dos plans que es tallen determinant una recta.

Per tant, podem cercar un vector director de r, v fent el producte vectorial entre els vectors normals dels plans:

v=n1×n2=|ijk211112|=2i+j+2k+k4ji=3i3j+3k=(3,3,3)

Podem agafar per simplicitat v=(1,1,1), encara que ja observem que les rectes no són paral·leles ni coincidents ja que els seus vectors directors u=(1,2,0) i v=(1,1,1) no són paral·lels.

Busquem punts A pertanyent a r, i A pertanyent a s: A=(0,1,3)  ;  A=(1,2,3)AA=(1,1,0)

Mirem finalment si AA, u i v són linealment dependents o independents: |110120111|=21=3

Per tant els vectors són linealment independents i les rectes es creuen.

Solució:

Les rectes r i s es creuen.

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria