Dada la recta $$r:\left\{\begin{array}{rcl} 2x-y+z-2&=&0 \\ x+y+2z-7&=&0\end{array}\right.$$ determinar su posición relativa con la recta $$s: (x, y, z) = (1, 2, 3) + k \cdot (-1, 2, 0)$$.
Desarrollo:
Empezamos calculando la posición relativa entre las dos rectas. Lo haremos de manera geométrica y para ello necesitamos un vector director de $$r$$.
Fijémonos en que la ecuación implícita de la recta en realidad consta de dos ecuaciones de dos planos que se cortan determinando una recta.
Por tanto, podemos buscar un vector director de $$r$$, $$\overrightarrow{v}$$ haciendo el producto vectorial entre los vectores normales de los planos:
$$$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{n_1}\times\overrightarrow{n_2}=\left|\begin{matrix} i & j & k \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} \right|=-2i+j+2k+k-4j-i=-3i-3j+3k=(-3,-3,3)$$$
Podemos coger por simplicidad $$\overrightarrow{v}=(1,1,-1)$$, aunque ya observamos que las rectas no son paralelas ni coincidentes ya que sus vectores directores $$\overrightarrow{u}=(-1, 2, 0)$$ y $$\overrightarrow{v}=(1, 1,-1)$$ no son paralelos.
Buscamos puntos $$A$$ perteneciente a $$r$$, y $$A'$$ perteneciente a $$s$$: $$$A=(0,1,3) \ \ ; \ \ A'=(1,2,3) \Rightarrow \overrightarrow{AA'}=(1,1,0)$$$
Miramos por último si $$\overrightarrow{AA'}$$, $$\overrightarrow{u}$$ y $$\overrightarrow{v}$$ son linealmente dependientes o independientes: $$$\left|\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right|=-2-1=-3$$$
Por tanto los vectores son linealmente independientes y las rectas se cruzan.
Solución:
Las rectas $$r$$ y $$s$$ se cruzan.