Las ecuaciones implícitas de las rectas y las generales de los planos son ecuaciones lineales. Por este motivo, podemos determinar la posición relativa de las rectas y los planos en el espacio a partir del estudio de la compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales correspondientes.
Veamos que posiciones relativas pueden presentar dos rectas, $$r (A;\overrightarrow{v})$$ y $$r'(A';\overrightarrow{v'})$$, dadas por sus respectivas ecuaciones implícitas:
$$$r:\left\{ \begin{array}{rcl} A_1x+B_1y+C_1z+D_1&=&0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2&=&0 \end{array}\right. \\ r':\left\{ \begin{array}{rcl} A_3x+B_3y+C_3z+D_3&=&0 \\ A_4x+B_4y+C_4z+D_4&=&0 \end{array}\right.$$$
Para encontrar las posiciones relativas entre las rectas, consideremos el sistema formado por las cuatro ecuaciones, cuyas matrices $$M$$ y $$M'$$ (ampliada) son:
$$$M=\begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 &C_3 \\ A_4 & B_4 & C_4\end{pmatrix} \qquad M'=\begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 & -D_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 & -D_2 \\ A_3 & B_3 &C_3 & -D_3 \\ A_4 & B_4 & C_4 & -D_4\end{pmatrix}$$$
Según el rango de dichas matrices, determinaremos la compatibilidad de los sistemas, y con ello la posición relativa de las rectas:
Sistema Compatible
Determinado
$$rango(M) = rango(M') = 3$$
Sistema Compatible determinado. Las rectas son secantes, es decir, se cortan en un punto.
Indeterminado
$$rango(M) = rango (M') = 2$$
Sistema compatible indeterminado cuyas soluciones dependen de un parámetro. Las rectas son coincidentes.
Sistema Incompatible
$$rango (M) = 2$$; $$rango (M') = 3$$
Sistema incompatible. Las dos rectas son paralelas.
$$rango (M) = 3$$; $$rango (M') = 4$$
Sistema incompatible. Las dos rectas se cruzan.
Determinad la posición relativa de las siguientes rectas:
$$$r:\left\{ \begin{array}{rcl} 7x+5y-7z-12 & = & 0 \\2x+3z+11 & = & 0 \end{array}\right. \qquad r':\left\{ \begin{array}{rcl} 5x-5y-z-16 & = & 0\\3x-2y-7 & = & 0 \end{array}\right.$$$
Las matrices del sistema formado por las cuatro ecuaciones son:
$$$M=\begin{pmatrix} 7 & 5 & -7\\ 2 & 0 & 3 \\ 5& -5 &-1\\ 3& -2 &0\end{pmatrix} \qquad M'=\begin{pmatrix} 7&5&-7 &12\\ 2 & 0 & 3 &-11\\ 5& -5 &-1&16 \\ 3& -2 & 0 &7 \end{pmatrix}$$$
Y si calculamos los rangos de dichas matrices tenemos:
$$$\left|\begin{matrix}7&5&-7\\ 2 & 0 & 3 \\ 5& -5 &-1\\ 3& -2 &0\end{matrix}\right|=260 \neq 0 \Rightarrow \mbox{ rango }(M)=3 \\ \\ \left|\begin{matrix}7&5&-7 &12\\ 2 & 0 & 3 &-11\\ 5& -5 &-1&16 \\ 3& -2 & 0 &7 \end{matrix}\right|=552 \neq 0 \Rightarrow \mbox{ rango }(M')=4$$$
Por tanto las rectas se cruzan.
La posición relativa de dos rectas también puede ser determinada desde un punto de vista más geométrico y no tan algebraico a partir de sus respectivos vectores directores.
Vectores directores linealmente independientes: Las rectas se cortan o se cruzan.
Para ver cual es el caso, crearemos un tercer vector a partir de un punto de una recta y otro punto de la otra. Si dicho vector es linealmente dependiente con los vectores directores de las rectas, entonces las rectas se cortan. Si no, se cruzan.
Vectores directores linealmente dependientes: Las rectas son paralelas o coincidentes.
Para ver en que caso estamos buscaremos un punto de una de las rectas y sustituiremos en la otra. Si pertenece a ella, las rectas son coincidentes. Si no pertenece a ambas rectas, entonces son paralelas.