Posiciones relativas recta y plano

Para determinar las posiciones relativas de una recta $r (A^{'}; \vec{v})$ y un plano $π (P; \vec{u}, \vec{v})$ , expresamos la recta mediante sus ecuaciones implícitas y el plano con su ecuación general:

$r : {\begin{array}{rcl} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} & = & 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} & = & 0 \end{array} π : A x + B y + C z + D = 0$

A continuación consideramos el sistema formado por las tres ecuaciones y escribimos la matriz $M$ y la matriz ampliada $M^{'}$ asociadas a este sistema:

$M = (\begin{matrix} A & B & C \\ A_{1} & B_{1} & C_{1} \\ A_{2} & B_{2} & C_{2} \end{matrix})$

$M^{'} = (\begin{matrix} A & B & C & - D \\ A_{1} & B_{1} & C_{1} & - D_{1} \\ A_{2} & B_{2} & C_{2} & - D_{2} \end{matrix})$

Según la compatibilidad del sistema tendremos una posición relativa u otra:

Sistema Compatible

Determinado

$r a n g o (M) = r a n g o (M^{'}) = 3$

Sistema Compatible determinado. La recta y el plano son secantes.

Indeterminado

$r a n g o (M) = r a n g o (M^{'}) = 2$

Sistema compatible indeterminado. Las soluciones dependen de un parámetro. La recta está contenida en el plano.

Sistema Incompatible

$r a n g o (M) = 2 \neq r a n g o (M^{'}) = 3$

Sistema incompatible. La recta y el plano son paralelos.

Ejemplo

Determina la posición relativa de la recta $r : (x, y, z) = (2, - 1, 0) + k \cdot (1, 2, 1)$ y el plano $π : (x, y, z) = (5, 0, 0) + l \cdot (3, 0, 1) + m \cdot (4, - 1, 1)$

Empezamos considerando la matriz cuyas columnas son las componentes de los tres vectores directores (2 del plano y 1 de la recta) y encontramos su rango:

$| M | = | \begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} | = 0$

Por tanto $r a n g o (M) = 2$ , y la recta estará contenida o será paralela al plano.

Para ver en que caso estamos, podemos coger un punto de la recta $P$ y mirar si pertenece al plano $π$ .

$P = (2, - 1, 0)$

Sustituimos en $π$ :

$\begin{array}{rcl} 2 & = & 5 + 3 \cdot l + 4 \cdot m \\ - 1 & = & - m \\ 0 & = & l + m \end{array}$

Por tanto $m = 1, l = - 1$ , y vemos que el punto no cumple.

Así, la recta y el plano son paralelos.