Para determinar las posiciones relativas de una recta $$r (A'; \overrightarrow{v})$$ y un plano $$\pi(P;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$$, expresamos la recta mediante sus ecuaciones implícitas y el plano con su ecuación general:
$$$r: \left\{\begin{array} {rcl} A_1x+B_1y+C_1z+D_1 & = & 0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2 &=& 0 \end{array}\right. \\ \pi: Ax+By+Cz+D=0$$$
A continuación consideramos el sistema formado por las tres ecuaciones y escribimos la matriz $$M$$ y la matriz ampliada $$M'$$ asociadas a este sistema:
$$$M=\begin{pmatrix} A & B & C \\ A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \end{pmatrix}$$$
$$$M'=\begin{pmatrix} A & B & C & -D \\ A_1 & B_1 & C_1 & -D_1\\ A_2 & B_2 & C_2 & -D_2 \end{pmatrix}$$$
Según la compatibilidad del sistema tendremos una posición relativa u otra:
Sistema Compatible
Determinado
$$rango(M) = rango(M') = 3$$
Sistema Compatible determinado. La recta y el plano son secantes.
Indeterminado
$$rango (M) = rango (M') = 2$$
Sistema compatible indeterminado. Las soluciones dependen de un parámetro. La recta está contenida en el plano.
Sistema Incompatible
$$rango (M) = 2 \neq rango (M') = 3$$
Sistema incompatible. La recta y el plano son paralelos.
Determina la posición relativa de la recta $$r: (x, y, z) = (2,-1, 0) + k \cdot (1, 2, 1)$$ y el plano $$ \pi: (x, y, z) = (5, 0, 0) + l \cdot (3, 0, 1) + m \cdot (4,-1, 1)$$
Empezamos considerando la matriz cuyas columnas son las componentes de los tres vectores directores (2 del plano y 1 de la recta) y encontramos su rango:
$$$ |M| = \left|\begin{matrix} 1 & 3&4 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right|=0$$$
Por tanto $$rango (M) = 2$$, y la recta estará contenida o será paralela al plano.
Para ver en que caso estamos, podemos coger un punto de la recta $$P$$ y mirar si pertenece al plano $$\pi$$.
$$$P=(2,-1,0)$$$
Sustituimos en $$\pi$$:
$$$\begin{array}{rcl}2 &=& 5 + 3 \cdot l +4 \cdot m\\ -1 &=& -m \\ 0 & =& l+m\end{array}$$$
Por tanto $$m = 1, l =-1$$, y vemos que el punto no cumple.
Así, la recta y el plano son paralelos.