Posición relativa de dos planos

Veamos ahora las posiciones relativas que pueden presentar dos planos, $\pi (P;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ y $\pi (Q;\overrightarrow{u^{\prime }},\overrightarrow{v^{\prime }})$, ambos expresados mediante sus ecuaciones generales: $$\begin{array}{rrcl}\pi :& Ax+By+Cz+D& =& 0\\ {\pi }^{\prime }:& A^{\prime }x+B^{\prime }y+C^{\prime }z+D^{\prime }& =& 0\end{array}$$

Para encontrar las posiciones relativas, consideremos el sistema formado por las dos ecuaciones, con su matriz $M$ y su matriz ampliada $M^{\prime }$: $$M=\left(\begin{array}{ccc}A& B& C\\ A^{\prime }& B^{\prime }& C^{\prime }\end{array}\right)$$ $$M^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}A& B& C& -D\\ A^{\prime }& B^{\prime }& C^{\prime }& -D^{\prime }\end{array}\right)$$

Planos coincidentes

$$rango(M)=rango(M^{\prime })=1$$

Equivale a: $${\displaystyle \frac{A}{A^{\prime }}=\frac{B}{B^{\prime }}=\frac{C}{C^{\prime }}=\frac{D}{D^{\prime }}}$$ Sistema compatible indeterminado.

La solución del sistema depende de dos parámetros. Los planos son coincidentes.

Planos paralelos

$$rango(M)=1,rango(M^{\prime })=2$$

Equivale a: $${\displaystyle \frac{A}{A^{\prime }}=\frac{B}{B^{\prime }}=\frac{C}{C^{\prime }}\ne \frac{D}{D^{\prime }}}$$ Sistema incompatible.

El sistema no tiene solución. No hay puntos comunes. Los planos son paralelos.

Planos secantes

$$rango(M)=rango(M^{\prime })=2$$

Equivale a: $${\displaystyle \frac{A}{A^{\prime }}\ne \frac{B}{B^{\prime }}\text{ o }\frac{A}{A^{\prime }}\ne \frac{C}{C^{\prime }}\text{ o }\frac{B}{B^{\prime }}\ne \frac{C}{C^{\prime }}}$$ Sistema compatible indeterminado.

La solución del sistema depende de un parámetro. Los planos son secantes, es decir, se cortan en una recta.