Vegem ara les posicions relatives que poden presentar dos plans, $$\pi(P;\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$$ i $$\pi(Q;\overrightarrow{u'}, \overrightarrow{v'})$$, ambdós expressats mitjançant les seves equacions generals: $$$ \begin{array}{rrcl} \pi:&Ax+By+Cz+D &=&0\\ \pi':&A'x+B'y+C'z+D'&=&0\end{array}$$$
Per trobar les posicions relatives, considerem el sistema format per les dues equacions, amb la seva matriu $$M$$ i la seva matriu ampliada $$M'$$: $$$M=\begin{pmatrix} A & B & C \\ A' & B' & C' \end{pmatrix}$$$ $$$M'=\begin{pmatrix}A & B & C & -D \\ A' & B' & C' & -D' \end{pmatrix}$$$
Plans coincidents
$$$rang (M) = rang (M') = 1$$$
Equival a: $$$\displaystyle \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}=\frac{D}{D'}$$$ Sistema compatible indeterminat.
La solució del sistema depèn de dos paràmetres. Els plans són coincidents.
Donats els plans $$\pi$$ i $$\pi'$$' $$$\begin{array}{rrcl}\pi:& 2x - 3y + z - 1 &=& 0\\ \pi':&-4x + 6y - 2z +2& =& 0\end {array}$$$ Es tracta de plans coincidents ja que: $$$\displaystyle \frac{2}{-4}=\frac{-3}{6}=\frac{1}{-2}=\frac{-1}{2}$$$
Plans paral·lels
$$$rang(M) = 1, rang (M') = 2$$$
Equival a: $$$\displaystyle \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}\neq \frac{D}{D'}$$$ Sistema incompatible.
El sistema no té solució. No hi ha punts comuns. Els plans són paral·lels.
Donats els plans $$\pi$$ i $$\pi'$$' $$$\begin{array}{rrcl}\pi:& 2x - 3y + z - 1 &=& 0\\ \pi':&-4x + 6y - 2z +7& =& 0\end {array}$$$ Es tracta de plans paral·lels ja que: $$$\displaystyle \frac{2}{-4}=\frac{-3}{6}=\frac{1}{-2}\neq\frac{-1}{7}$$$
Plans secants
$$$rang(M) = rang (M') = 2$$$
Equival a: $$$\displaystyle \frac{A}{A'} \neq \frac{B}{B'} \mbox{ o } \frac{A}{A'} \neq \frac{C}{C'} \mbox{ o } \frac{B}{B'} \neq \frac{C}{C'} $$$ Sistema compatible indeterminat.
La solució del sistema depèn d'un paràmetre. Els plans són secants, és a dir, es tallen en una recta.
Donats els plans $$\pi$$ i $$\pi'$$ $$$\begin{array}{rrcl}\pi:& 2x - 3y + z - 1 &=& 0\\ \pi':&-x + i - 2z +2& =& 0\end {array}$$$ Es tracta de plans secants ja que: $$$\displaystyle \frac{2}{-1}\neq\frac{-3}{1}$$$