Posició relativa de dos plans

Vegem ara les posicions relatives que poden presentar dos plans, $\pi (P;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ i $\pi (Q;\overrightarrow{u^{\prime }},\overrightarrow{v^{\prime }})$, ambdós expressats mitjançant les seves equacions generals: $$\begin{array}{rrcl}\pi :& Ax+By+Cz+D& =& 0\\ {\pi }^{\prime }:& A^{\prime }x+B^{\prime }y+C^{\prime }z+D^{\prime }& =& 0\end{array}$$

Per trobar les posicions relatives, considerem el sistema format per les dues equacions, amb la seva matriu $M$ i la seva matriu ampliada $M^{\prime }$: $$M=\left(\begin{array}{ccc}A& B& C\\ A^{\prime }& B^{\prime }& C^{\prime }\end{array}\right)$$ $$M^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}A& B& C& -D\\ A^{\prime }& B^{\prime }& C^{\prime }& -D^{\prime }\end{array}\right)$$

Plans coincidents

$$rang(M)=rang(M^{\prime })=1$$

Equival a: $${\displaystyle \frac{A}{A^{\prime }}=\frac{B}{B^{\prime }}=\frac{C}{C^{\prime }}=\frac{D}{D^{\prime }}}$$ Sistema compatible indeterminat.

La solució del sistema depèn de dos paràmetres. Els plans són coincidents.

Plans paral·lels

$$rang(M)=1,rang(M^{\prime })=2$$

Equival a: $${\displaystyle \frac{A}{A^{\prime }}=\frac{B}{B^{\prime }}=\frac{C}{C^{\prime }}\ne \frac{D}{D^{\prime }}}$$ Sistema incompatible.

El sistema no té solució. No hi ha punts comuns. Els plans són paral·lels.

Plans secants

$$rang(M)=rang(M^{\prime })=2$$

Equival a: $${\displaystyle \frac{A}{A^{\prime }}\ne \frac{B}{B^{\prime }}\text{ o }\frac{A}{A^{\prime }}\ne \frac{C}{C^{\prime }}\text{ o }\frac{B}{B^{\prime }}\ne \frac{C}{C^{\prime }}}$$ Sistema compatible indeterminat.

La solució del sistema depèn d'un paràmetre. Els plans són secants, és a dir, es tallen en una recta.